Rudimento

Rudimentos 1: Bases Num´ricas y Polinomios e Profesor Ricardo Santander Baeza
1. Introducci´n o El capitulo, ”Bases num´ricas y Polinomios” est´ destinado a presentar contenidos y actividades que dee a ber´ haber sido expuestos y discutidas, por los profesores y estudiantes en los correspondientes cursos de ıan Segundo, Tercero y Cuarto de su Ense˜anza Media, raz´n por la cual deseo abordart´picos que permitan n o o al estudiante, dentro de lo posible y en directa proporci´n a su trabajo, fortalecer y mejorar su operatoria o b´sica. La herramienta escogida para el efecto son los polinomios, y la idea es introducir informalmente el a concepto, el cual ser´ abordado posteriormente desde el punto de vista de las estructuras algebraicas. a El punto de partida ser´ escoger el fundamentonatural de los polinomios en el n´mero. El cual satisface a u todos los atributos de un buen axioma, porque buscando una buena respuesta para ¿ qu´ es un n´mero?, e u podemos pasar por todas las ´pocas citando personajes fabulosos como: Pit´goras, Hermes, Hiram, entre e a otros, sin encontrar una respuesta satisfactoria, sin embargo todos tenemos, una idea que nos deja tranquilo respecto de lo que unn´mero es, probablemente la m´s com´n de las interpretaciones, es asociar un n´mero u a u u con la idea de cantidades de cosas, por ejemplo un maestro, tres malos alba˜iles, nueve escogidos caballeros, n etc. As´ que para una primera aproximaci´n nos contentaremos con lo que ´l para nosotros representa, ı o e claro esta del punto de vista que nos conviene para nuestro prop´sito, y en ese tenorpodemos citar algunos o ejemplos. [1] 33 = 3 · 101 + 3 · 100 [2] 987 = 9 · 102 + 8 · 101 + 7 · 100 La idea es que en la representaci´n en potencias del n´mero 10 (objetos del tipo 10n ), aceptamos como o u coeficientes ( los n´meros que multiplican a las potencias de 10) n´meros mayores o iguales a 0 y menores u u que 10. Para el caso del 33, lo hacemos as´ ı, 33 30
−−−

: 10 = 3 ⇐⇒ 33 = 3 · 101 + 3· 100

−

3 Para el n´mero 987 tenemos que u 987 900
−−−

: 100 = 9 ⇔ 987 = 9 · 102 + 87
−

−

87

∧

87 80
−−

: 10 = 8 ⇐⇒ 87 = 8 · 101 + 7

7

Sustituyendo, la representaci´n de 87 obtenemos que: o 987 = 9 · 102 + 8 · 101 + 7 · 100 Definici´n 1.1. Si (n ∈ N) tal que o n = as 10s + as−1 10s−1 + · · · + a1 101 + a0 100 ;
1

(0 ≤ aj ≤ 9); (0 ≤ j ≤ s)

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´ RUDIMENTOS 1:BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS PROFESOR RICARDO SANTANDER BAEZA

entonces n = as as−1 as−2 as−3 · · · a2 a1 a0 La llamaremos representaci´n del n´mero n en base 10 o en el sistema decimal o u Observaci´n 1.1.1. La idea de representar un n´mero de la forma (1) no es una exclusividad de la base o u 10 (del n´mero 10), m´s a´n, si uno se fija en la idea central obtiene un algoritmo o procedimientopara u a u representar n´meros en cualquier base entera mayor o igual a 2. u [1] Por ejemplo n = 10 lo podemos representar en base “2”, como sigue, 10 = 8 + 2 = 1 · 23 + 1 · 21 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 As´ que, ı 10 = 1010 [2] Para n = 33 tenemos que 33 = = = = Luego, 33 = 100001 [3] Para n = 10 en base 3 tenemos 10 = = = = As´ que, ı 10 = 101 [4] Para n = 33 tambi´n en base 3, tenemosque e 33 = 27 + 6 = 33 + 2 · 3 = 1 · 33 + 0 · 32 + 2 · 31 + 0 · 30 Luego, 33 = 1020 (base 3) ( base 3) 9+1 32 + 1 1 · 32 + 1 · 30 1 · 32 + 0 · 31 + 1 · 30 (base 2) 2 · 16 + 1 2 · 24 + 1 25 + 1 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 ( base 2) (1)

´ 3. CONSTRUCCION INFORMAL DE POLINOMIOS

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2. Ejercicios Propuestos de Bases Num´ricas e [1] Exprese en base 2, los siguientesn´meros: u • x = 45 • x = 318 • x = 2402 [2] Exprese en el sistema decimal los n´meros: u • x = 24512 (base 7) • x = 1231231 (base 4) [3] Sin pasar por el sistema decimal, realice las siguientes conversiones: • Escriba en base 8: x = 321322 (base 4), x = 2122 (base 4); x = 12321 (base 4) • Escriba en base 3: x = 666666 (base 9) 3. Construcci´n Informal de polinomios o Hemos observado que es posible...