Sólido De Revolución
Páginas: 6 (1337 palabras)
Publicado: 10 de octubre de 2012
CÁLCULO INTEGRAL
PROYECTO ESPECIAL DE “SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN”
El sólido que elegimos para trabajar fue un BubuLubu, es un dulce de la empresa Ricolino, es a base de Malvavisco, jalea de fresa y con una cobertura de chocolate. Es uno de los productos icono de Ricolino su precio en el mercado es de $11.00 pesos aproximadamente y lo puedes encontrar en la tiendita de la esquina, en unautoservicio, oxxo, etc.
Su forma es muy original, son cuatro círculos unidos, cada círculo tiene de diámetro 2.5 cm aprox. y la unión de es de .5 cm.
[pic]
Para hacer el modelo matemático de esta figura usamos la función
[pic]
Donde r= radio, al utilizar esta fórmula obtenemos un circulo completo y su centro estaría ubicado en el cruce de la abscisas.Como queríamos que la figura comenzara en (0,0) tuvimos que manipular la fórmula para mover el círculo hacia izquierda y hacer que solo se viera un medio círculo.
Lo primero que hicimos fue despejar “y” de la función:
[pic] [pic]
Para hacer que el círculo se mueva hacia la izquierda le restas las unidades que deseas moverlo, en este caso restamos 1.25 unidades(cm) que sería igual al radio y nuestra primera función quedo así:
[pic]
Como existe un espacio donde las circunferencias se juntan de O.5 cm para modelar las siguientes funciones se sumaba dos veces el radio menos O.5 por el espacio y querías el tercer círculo es 4 veces el radio menos 1 y para el último círculo fue 6 veces el radio menos 1.5 y obtuvimos las siguientes funciones:[pic]
[pic]
[pic]
Las graficamos en winplot y obtuvimos la siguiente grafica:
[pic]
EL siguiente paso a seguir fue plantear las integrales para obtener el área del solido; se debe tener cuidado con los limites de las integrales, ya que no se puede integrar desde el inicio de la media circunferencia hasta donde terminaesta misma ya que obtendríamos un fracción del área repetida, también es importante saber que solo necesitas dos integrales, ya que aunque sean 4 medias circunferencias el área de los dos extremos el igual y el área de los dos medios círculos internos es igual también, plateamos las siguientes integrales:
[pic]
Puedes utilizar algún software para resolver esta integral o hacerlamanualmente, pero nosotros utilizamos winplot para resolverla y obtuvimos como resultado:
2.3266 [pic]
La segunda integral que utilizamos es:
[pic]
Cambiamos los límites y la ecuación, los límites que se deben de utilizar son los puntos donde la curva hace intersección con la circunferencia siguiente y anterior, nos dio como resultado:
2.1989[pic]
Para obtener el área total del BubuLubu solo se tiene que multiplicar cada resultado por dos para obtener el área de los dos círculos faltantes y sumarlas; pero como el área que obtuvimos es solo la mitad de la real, la suma que nos resulte la debemos multiplicar por dos y obtendremos el área total.
2.3266 x 2 = 4.6532 2.1989 x 2= 4.3978 2 x(4.6532 + 4.3978) = 18.102
Area total: 18.102[pic]
VOLÚMEN DEL SÓLIDO:
Teniendo la grafica y las ecuaciones de las curvas del BubuLubu, podemos imaginar que sacaremos el volumen te un gusano o algo así y podemos revolucionar en winplot la grafica anterior para ver el sólido, la revolución se debe hacer por partes sobre el eje “x” y siguiendo losmismos limites que se usaron para integrar, que si te das cuenta aumentan de 2 en dos; la figura que no queda seria así:
[pic]
Para obtener el volumen debemos utilizar la siguiente fórmula:
[pic]
La cual se sustituiría de la siguiente manera:
[pic]
Como tenemos una raíz cuadrada elevada al cuadrado se...
PROYECTO ESPECIAL DE “SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN”
El sólido que elegimos para trabajar fue un BubuLubu, es un dulce de la empresa Ricolino, es a base de Malvavisco, jalea de fresa y con una cobertura de chocolate. Es uno de los productos icono de Ricolino su precio en el mercado es de $11.00 pesos aproximadamente y lo puedes encontrar en la tiendita de la esquina, en unautoservicio, oxxo, etc.
Su forma es muy original, son cuatro círculos unidos, cada círculo tiene de diámetro 2.5 cm aprox. y la unión de es de .5 cm.
[pic]
Para hacer el modelo matemático de esta figura usamos la función
[pic]
Donde r= radio, al utilizar esta fórmula obtenemos un circulo completo y su centro estaría ubicado en el cruce de la abscisas.Como queríamos que la figura comenzara en (0,0) tuvimos que manipular la fórmula para mover el círculo hacia izquierda y hacer que solo se viera un medio círculo.
Lo primero que hicimos fue despejar “y” de la función:
[pic] [pic]
Para hacer que el círculo se mueva hacia la izquierda le restas las unidades que deseas moverlo, en este caso restamos 1.25 unidades(cm) que sería igual al radio y nuestra primera función quedo así:
[pic]
Como existe un espacio donde las circunferencias se juntan de O.5 cm para modelar las siguientes funciones se sumaba dos veces el radio menos O.5 por el espacio y querías el tercer círculo es 4 veces el radio menos 1 y para el último círculo fue 6 veces el radio menos 1.5 y obtuvimos las siguientes funciones:[pic]
[pic]
[pic]
Las graficamos en winplot y obtuvimos la siguiente grafica:
[pic]
EL siguiente paso a seguir fue plantear las integrales para obtener el área del solido; se debe tener cuidado con los limites de las integrales, ya que no se puede integrar desde el inicio de la media circunferencia hasta donde terminaesta misma ya que obtendríamos un fracción del área repetida, también es importante saber que solo necesitas dos integrales, ya que aunque sean 4 medias circunferencias el área de los dos extremos el igual y el área de los dos medios círculos internos es igual también, plateamos las siguientes integrales:
[pic]
Puedes utilizar algún software para resolver esta integral o hacerlamanualmente, pero nosotros utilizamos winplot para resolverla y obtuvimos como resultado:
2.3266 [pic]
La segunda integral que utilizamos es:
[pic]
Cambiamos los límites y la ecuación, los límites que se deben de utilizar son los puntos donde la curva hace intersección con la circunferencia siguiente y anterior, nos dio como resultado:
2.1989[pic]
Para obtener el área total del BubuLubu solo se tiene que multiplicar cada resultado por dos para obtener el área de los dos círculos faltantes y sumarlas; pero como el área que obtuvimos es solo la mitad de la real, la suma que nos resulte la debemos multiplicar por dos y obtendremos el área total.
2.3266 x 2 = 4.6532 2.1989 x 2= 4.3978 2 x(4.6532 + 4.3978) = 18.102
Area total: 18.102[pic]
VOLÚMEN DEL SÓLIDO:
Teniendo la grafica y las ecuaciones de las curvas del BubuLubu, podemos imaginar que sacaremos el volumen te un gusano o algo así y podemos revolucionar en winplot la grafica anterior para ver el sólido, la revolución se debe hacer por partes sobre el eje “x” y siguiendo losmismos limites que se usaron para integrar, que si te das cuenta aumentan de 2 en dos; la figura que no queda seria así:
[pic]
Para obtener el volumen debemos utilizar la siguiente fórmula:
[pic]
La cual se sustituiría de la siguiente manera:
[pic]
Como tenemos una raíz cuadrada elevada al cuadrado se...
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