Solidos De Revolucion

Sólido de revolución



Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera unsólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Método del disco.

Si giramos una región del plano alrededor deun eje obtenemos un sólido de evolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = πR2w

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la gráfica. Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo.
Teniendo en cuenta que el volumende un disco es: πR2w, la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

Fórmula del volumen por discos.
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:

Pasos para encontrar Volúmenes por el método del disco (o arandela).

1.Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.
2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.
3. Establecer los límites deintegración.
4. Por último integrar para hallar el volumen deseado.

Ejemplo 1:
La región entre la curva , y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen.:

Solución:
Paso 1: Trazo de la región y de la sección típica. Abajo se muestra la región R pedida:

Paso 2: Extracción del Radio Principal: Es claro que el método a utilizar es el método de losdiscos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir:

Paso 3: Limites de Integración: Estos límites nos lo fueron Región que rota alrededor del eje x dados en el enunciado del ejemplo: 0 ≤ x ≤ 25.

Paso 4: Formulación de la Integral: Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:

Por tanto el volumen del sólido es:

Ejemplo2:
Hallar el volumen generado por el área bajo la curva generada por el segmento de recta: que gira en torno al eje x.

Solución:
Primero realicemos las gráficas:

Planteamos la integral:
El área de cada sección tiene la forma:

Luego el volumen del sólido es:

Por tanto el volumen del sólido es: 124 π unidades cuadradas.

Método de la Arandela.

Este método consiste en hallarel volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:

Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son Perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos. (Es por esto elnombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar en la siguiente figura:

Ahora hallemos las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior. El radio exterior (radio más grande) lo determina la función y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función . Como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela...