Sólidos, Modelo De Empaquetamiento Comacto De Esferas
Amorfos:
orden de corto alcance
(vidrios)
Cristalinos: orden periódico
repetitividad en el espacio
Estructura (local+periódica) ⇔ Propiedades
Cristales
Sal de
Mesa
Azucar
Calcita
(CaCO3)
Hielo
Cristales
Galio
Insulina
Proteina
(Elastasa
Porcina)
[Mn12O12(O2CCHCl2)16(H2O)4
Cristales
Presentan estructuras geométricasreconocibles.
Poseen una composición constante.
Presentan propiedades definidas y
frecuentemente distintas de la de los
sólidos no cristalinos.
Orden y Periodicidad
Repetición de objetos
en el espacio
Patrones repetitivos
Simetría traslacional
• La estructura del sólido cristalino se
representa mediante la repetición de la
celda unidad en las tres direcciones
del espacio
Celdaunidad
Translación
eje y
Translación
eje X
Translación
eje Z
Descripción de un Sistema
Periódico
(Arreglo infinito de puntos ordenados)
a
0
1a
1 dimensión, una sola red posible
2a
3a
Red de Bravais
Unidimensional
Redes de Bravais
Bidimensionales
¿De cuántas maneras se llena el plano por traslación?
5 redes bidimensionales
Oblicua
a, b sin restriccionesγ sin restricciones
b
a
b
a
Rectangular
a, b sin restricciones
γ = 90°(P), γ s/r (C)
primitiva
centrada
Cuadrada
a=b
γ =90°
b
Hexagonal
a=b
γ =120°
a
a
Sistemas Cristalinos
Tridimensionales
14 Redes de Bravais
CUBICA
ORTOROMBICA
MONOCLINICA
•
Tipo de celda unidad
–
–
–
TRICLINICA
–
P: Primitiva (1 pt)
I: centrada en elcuerpo
F: Centrada en las
caras
C: centrada en los
lados
Empaquetamiento de círculos
(o como hacer empaquetamientos “densos”)
Empaquetamientos
Son todos iguales?
Carl Friedrich Gauss demostró que en 2D, la disposición regular de
círculos con mayor densidad es el empaquetamiento hexagonal
(1777-1855)
Empaquetamientos compactos vs. no compactos
“hexagonal”
(compacto)
“cuadrado”(no compacto)
mejor aprovechamiento del
espacio disponible (más círculos
por unidad de área)
Y en 3D?
Empaquetamientos no compactos en 3D
1er caso: Empaquetamiento cúbico no compacto
“celda unidad”
Empaquetamientos no compactos en 3D
• Celda cúbica simple
r
a
Eficiencia del empaquetamiento???
Empaquetamientos no compactos en 3D
• Celda cúbica simple
Nº decoordinación:6
Átomos por celda: 8 vértices*1/8 =1
Relación entre la longitud de arista y el
radio del átomo: 2r = a
r
Eficacia del empaquetamiento: 52%
a
Vocupado
Vcelda
=
(4 3 )π r 3
a
3
=
(4 3 )π r 3
(2r)
3
=
π
6
= 0 .52
Empaquetamientos no compactos en 3D
Otro caso: Celda cúbica centrada en el cuerpo
Empaquetamientos no compactos en 3DCelda cúbica centrada en el cuerpo
Nº de coordinación = 8
Átomos por celda = 8 x 1/8 +1 = 2
Relacion arista/radio
a=
4
3
Vocup
Vtotal
1
r
2
43
1
2× π r
32
3
=
=
π ≈ 0.68
3
8
4
1 r
3 2
En 1611 (!!) Johannes Kepler conjeturó (pero no demostó!!)
que en 3D el arreglo periódico de esferas sólidas e idénticas con
mayor densidad promedio está dado por losllamados
empaquetamientos compactos. La densidad de estos arreglos
es un poco mayor al 74%
En 1998 Thomas Hales, actualmente Andrew Mellon Professor
en la Universidad de Pittsburgh, anunció que tenía una prueba
de la conjetura de Kepler. La prueba de Hales involucra
complejos cálculos en computadora.
Los árbitros han dicho que están "99% seguros" de la exactitud
de la prueba de Hales. Sinembargo los métodos utilizados por
Hales para la demostración no son suficientemente rigurosos,
por lo que no está ni mucho menos acabado el problema. Por
tanto, quizá en unos años, la conjetura de Kepler esté más cerca
de convertirse en un teorema.
Empaquetamientos compactos en 3D
Apilando Capas del empaquetamiento
Primera Capa
Cada Atomo tiene 6 vecinos
1ra capa
Segunda...
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