secciones conicas

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Secciones Cónicas
Los antiguos geómetras griegos descubrieron que cortando un cono circular recto de dos
hojas (o mantos) con planos que no pasan por el vértice del cono, se obtienen tres tipos
básicos de curvas, las cuales se denominan secciones cónicas, o simplemente cónicas.
Un cono circular recto de dos hojas es una superficie en el espacio conformada por todas
las rectas que pasanpor un punto fijo P y forman un ángulo constante α, 0 < α < 90◦ ,
con una recta fija L que pasa por P (figura 8.1). La recta L es el eje del cono, el punto P
es el vértice del cono y cada recta que es parte del cono se dice un elemento del cono. El
vértice P separa al cono en dos partes, a las que se llama hojas.

Figura 8.1.

Cuando un plano, que no pasa por el vértice P, corta todos loselementos de una
sola hoja, la curva intersección del plano con el cono se llama elipse (figura 8.2.a); si el
plano es paralelo a un elemento, la correspondiente curva intersección se llama parábola
(figura 8.2.b), y si el plano corta ambas hojas, la curva resultante se llama hipérbola
(figura 8.2.c). Cuando se corta el cono con un plano que pasa por el vértice del cono,
la intersección resultantepuede ser un punto, una recta o dos rectas que se cortan en el
vértice. A este tipo de intersecciones se les llama cónicas degeneradas.
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8. Secciones Cónicas

Figura 8.2.

Un caso particular de elipse es la circunferencia, curva que se obtiene cortando al cono
con un plano que no pase por el vértice y que sea perpendicular al eje del cono.
Las propiedades fundamentales de lassecciones cónicas se conocen desde hace más de
dos mil años y es notable el hecho de que dichas curvas continúan jugando en la actualidad
un importante papel en la ingeniería con una gran variedad de aplicaciones prácticas en
la vida cotidiana (reflectores parabólicos, antenas parabólicas para televisión, etc), como
también en la formulación de ciertos modelos científicos. En la Física, porejemplo, es bien
conocido lo que ocurre en los campos gravitacional y electrostático, los cuales son campos
de fuerza proporcional al inverso del cuadrado de la distancia: cuando una partícula se
mueve bajo la influencia de uno de estos campos, la trayectoria que ella describe es una
cónica. En el campo gravitacional del sol se conoce que las órbitas de los planetas son
elipses y que el sol seencuentra en uno de los focos. Por otra parte, la trayectoria que
describe una partícula α en el campo eléctrico de un núcleo atómico, es una hipérbola.
Para el campo gravitacional de la tierra, Galileo descubrió a comienzos del siglo XVII
que si un objeto es lanzado cerca de la superficie terrestre, formando un ángulo no recto
con la horizontal, la trayectoria que él describe es un arco deparábola, si no se tiene en
cuenta la resistencia del aire.
Se ha encontrado que las secciones cónicas se pueden definir (sin hacer referencia a un
cono) como ciertos lugares geométricos del plano, es decir, como ciertos conjuntos de puntos
del plano que cumplen determinadas condiciones. En este capítulo definiremos dichas secciones cónicas de esta forma y encontraremos para cada tipo, ecuacionescorrespondientes.
Empezaremos con la circunferencia que, como ya dijimos, es un caso particular de elipse y
además es, después de la línea recta, el lugar geométrico más sencillo y más familiar.

8.1

La circunferencia

Se denomina circunferencia al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan
(están a igual distancia) de un punto fijo del plano. Al punto fijo se le llama centro y a
ladistancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se le llama radio. (Figura
8.3a.)

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8.1. La circunferencia

Figura 8.3.

Consideremos ahora el plano dotado de un sistema de coordenadas cartesianas xy, y
µ ¶
h
en él una circunferencia C con centro en el punto C =
y radio r. (Figura 8.3b.)
k
µ ¶
x
Un punto
del plano está sobre dicha circunferencia C si y sólo si...