secciones conicas

SECCIONES CÓNICAS
Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de un cono circular
con un plano que no contenga al vértice del cono. Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la
inclinación del plano respecto del eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una
circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando esparalelo a una
generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas ramas del cono la curva es una
hipérbola.
Hagamos un esquema de lo que hemos dicho:

Cortamos una superficie cónica por un plano que no pase por su
vértice y llamamos α al ángulo que forma el eje del cono con la
generatriz del mismo y, llamamos β al ángulo que forma el plano
con el eje del cono.
Según la relaciónentre estos ángulos, ambas superficies se cortarán
en:
• una circunferencia si β = 90º
• una elipse si α < β < 90º
• una parábola si α = β
• las dos ramas de una hipérbola si α > β

Las cuatro secciones cónicas básicas se ilustran en las siguientes figuras:

Circunferencia

Elipse

Parábola

Hipérbola

PARÁBOLA
Definición
Se llama parábola al conjunto de puntos del plano queequidistan de un punto fijo, llamado foco, y
una recta fija, llamada directriz.
Ecuación de la parábola
A partir de la definición deduciremos la ecuación de una parábola que tenga el vértice en el origen
de coordenadas y la directriz paralela al eje x, por lo tanto el foco es el punto F(0, p) ¿Puedes dar la
ecuación de la directriz? Recuerda que por ser paralela al eje x estará representada poruna
ecuación del tipo y =k (constante).

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la parábola entonces la distancia de P al foco es:

d(P, F) = ( x 2 + ( y − p) 2
y la distancia de P a la directriz (de ecuación y = – p) es:
d = y+p
Luego si el punto está en la parábola debe verificar que d(P, F) = d, es decir
( x 2 + ( y − p) 2 = y + p

Elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene
22

x + ( y − p) = ( y + p)

2

2

2

2

2

⇒ x + y − 2py + p = y + 2py + p

2

x2
⇒ x = 4py ⇒ y =
4p
2

x2
La ecuación normal o canónica de la parábola con foco en (0, p) y directriz y = – p es y =
4p
1
Si llamamos a =
, la ecuación canónica se transforma en y = ax 2
4p
Elementos distintivos de una parábola
La recta que pasa por el foco y es perpendicular a ladirectriz se llama eje de la parábola. El punto
medio entre el foco y la directriz se denomina vértice. Es claro que el vértice es un punto que
pertenece al eje de la parábola.
Gráfica de la parábola
Puede notarse que la gráfica es simétrica respecto del eje y porque la ecuación no cambia cuando se
reemplaza x por – x . Además y = 0 sólo cuando x = 0, por lo tanto el único punto en común entrela gráfica y el eje x es el origen de coordenadas. También puede observarse que si p > 0 (y por lo
tanto a > 0), y toma valores siempre positivos y cuando p < 0 (y por lo tanto a < 0), y toma
valores siempre negativos. Teniendo en cuenta estas observaciones las gráficas son:

Si ahora pensamos en una parábola con vértice en el origen pero foco en (p, 0) y la directriz de
ecuación x = – pobtenemos la ecuación x =

1 2
y
4p

Trata de graficar haciendo observaciones análogas a las hechas para el caso anterior. ¿Cuál es el eje
de la parábola? ¿Cuál es el vértice? ¿Tiene la gráfica algún punto en común con los ejes
coordenados? ¿Es simétrica respecto a algún eje coordenado?
Ejemplo 1:
Dada la ecuación y 2 + 6x = 0 , halla la ecuación canónica de la parábola, indica el vértice, elfoco y
la directriz. ¿Cuál es el eje de la parábola?

y2
3
Escribimos la ecuación en la forma x = −
, y obtenemos que 4p = – 6 , de donde p = − < 0.
6
2
Con estos datos sabemos que el foco está en el punto (– 3/2, 0), el vértice es el origen de
3
coordenadas y la directriz es la recta de ecuación x = . El eje de la parábola es el eje x.
2

Trata de pensar ahora que ocurre si el...