Secciones Conicas

Desarrollaremos los términos: Secciones Cónicas, que son las curvas generadas por la intersección de un cono de doble hoja y de un plano. Conoceremos más a fondo los diferentes tipos de Secciones Cónicas los cuales son: Eclipse, Parábola e Hipérbola.
Historia de las Secciones Cónicas: Eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que seempleaban en la resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, en la que sobresalieron por su contribución e importantes logros los matemáticos Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga.
Secciones Cónicas
 Cónica es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un planoque no pasa por su vértice.
 El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo a de la superficie cónica y del ángulo b que forma el plano con el eje e.
 Si b > a entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si b " a se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se puedendar según los valores que tome b.

 Si b = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

• Si b > a y b < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a a) sea el ángulo b

 Si b = a el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.

 Si b < a entonces, tanto en los casos en queel plano corta al eje (0 < b < a) como cuando es paralelo a él (b = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.
 La excentricidad de una cónica es un número que mide su alargamiento y que está relacionado con los ángulos a y b.
 La excentricidad de la circunferencia es cero. Es decir, las circunferencias no son nada excéntricas. Las elipses son tanto más excéntricascuanto más alargadas son: si una elipse es parecida a una circunferencia su excentricidad es próxima a cero, mientras que si es muy alargada, su excentricidad es próxima a uno.


Aplicaciones de las cónicas:
Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas ycometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa.

Las cónicas como lugares geométricos:
Salvo la circunferencia, las restantes cónicas se pueden definir como lugaresgeométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta fija, d, llamada directriz, y su excentricidad, e > 0, del siguiente modo:
 El lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de sus distancias a F y a d es igual a e (dist PF/ dist Pd = e), es una cónica de excentricidad e. F

Cónicas Degeneradas:
 Las cónicas propiamente dichas son las que ya se han descrito:circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un punto de vista matemático conviene a veces considerar como cónicas las figuras que se obtienen al cortar la superficie cónica mediante planos que pasan por su vértice. A estas figuras se les llama cónicas degeneradas. Según esto, una recta, un par de rectas, o incluso un punto, serían cónicas degeneradas.

Expresión analítica delas cónicas:
 Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:
 Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
 Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas...