Secciones Cónicas. Elipse

INTRODUCCIÓN


Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 (Menæchmus)donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, entre otras.
La geometría es una de las principales ramas de lasmatemáticas y está ligada a la rutina diaria.
La vida está llena de innumerables objetos diseñados con formas geométricas precisas, aunque raramente nos damos cuenta de ello.
Un ejemplo palpable son las órbitas de los planetas, siempre se imaginan de forma circular, cuando realmente son elípticas.




Las cónicas fueron un importante objeto de estudio para los geómetras de la antigüedad.Muchos siglos más tarde se descubrió que estas curvas, creadas por la mente humana, regían las trayectorias de los planetas. Hoy en día son, sin duda, las curvas más importantes que la geometría ha aportado a la física.
DEFINICÓN DE SECCIÓN CÓNICA
Las cónicas son curvas planas que poseen todas ellas una importante unidad geométrica, difícil de apreciar cuando se las define como lugaresgeométricos o por medio de sus ecuaciones analíticas, pero que se pone claramente de manifiesto cuando se obtienen mediante la intersección de un plano con un cono.
Si se corta un cono de dos hojas (dos conos infinitamente largos, orientados en sentidos opuestos, de forma que tengan el mismo eje y que los vértices coincidan) con un plano perpendicular al eje, se obtiene una circunferencia. Si se inclinaligeramente el plano, la circunferencia se convertirá en una elipse, que se irá haciendo mayor conforme mayor sea la inclinación que se le de al plano. Si se continúa inclinando el plano, llegará un momento en que éste será paralelo a la generatriz del cono, y la intersección de ambos será entonces una parábola. Cuando, por último, el plano sea paralelo al eje del cono, la intersección seconvertirá en las dos ramas de una hipérbola. Todas estas curvas, elipse, parábola e hipérbola, son las que reciben el nombre de cónicas (generalmente se considera a la circunferencia como un caso particular de la elipse). Apolonio, en su obra Las Cónicas, demuestra un conjunto de propiedades que permiten definirlas como lugares geométricos del plano, definiciones que son las que habitualmente se puedenencontrar en los libros de texto.


LA ELIPSE
La elipse se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. De manera que para dibujar una elipse se necesitan dos puntos fijos, que llamaremos F y F’ y una longitud a la que llamaremos l. Si tomamos un hilo que tenga longitud l y clavamos sus extremos en los puntos F yF’, al deslizar el lápiz sobre el papel, de forma que el hilo se mantenga siempre tenso, aparecerá la elipse.

Ejemplo:

De esta forma, la suma de distancias PF + PF’ se mantendrá constante, ya que es precisamente la longitud l del hilo.
Se llama eje mayor de la elipse al segmento de longitud 2a comprendido entre los puntos A y A’


y eje menor, al segmento de longitud 2b que está entrelos puntos B y B’, siendo ambos ejes de simetría de la elipse. Se define la distancia focal como el segmento de longitud 2c que está determinado por los focos F y F’ de la elipse.
Uno de los parámetros que más información nos proporciona sobre la forma que tiene la elipse es la excentricidad e, que se define como el cociente e = c/a. Como el denominador de esta fracción es siempre mayor que...