Segmentos Proporcionales, Relaciones Metricas

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Capítulo 6
Relaciones métricas

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Módulo 20 Segmentos proporcionales Módulo 21 Semejanza de triángulos Módulo 22 Relaciones métricas Módulo 23 Relaciones métricas en la circunferencia Autoevaluación Capítulo 6, módulos 20 al 23 Este capítulo trata el tema de la geometría que más dificultad les da a los estudiantes. Por eso se empieza haciendo un repaso aritmético de las proporcionescon sus propiedades, que luego se aplican en el estudio de los segmentos proporcionales y especialmente en el teorema de la bisectriz. Posteriormente se analiza la semejanza de figuras geométricas y particularmente la de triángulos, que permite establecer relaciones entre los lados del triángulo y llegar así a la demostración del teorema de Pitágoras como relación básica en el triángulorectángulo. El teorema de Pitágoras hace posible que se puedan establecer relaciones métricas en un triángulo cualquiera, tales como el lado en función de los lados y el teorema de Stewart –que es básico para hallar la mediana y la bisectriz en función de los lados–. Se halla además la fórmula de Herón de Alejandría y se demuestran los teoremas de Euler, Menelao y Ceva, que establecen otras relaciones entrelos lados de un triángulo. Finalmente se estudia la potencia de un punto respecto a una circunferencia y se analiza el segmento áureo, además de la relación que hay entre los lados de un polígono de n lados y un polígono de 2n lados, inscritos en un círculo.

GeometrÌa Euclidiana 269

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Segmentos proporcionales
Contenidos del módulo ulo
20.1 Proporciones (revisión) 20.1.1 Propiedadesde las proporciones 20.2 Segmentos proporcionales

20

módulo Objetivos del m dulo
1. 2. 3. 4. 5. Definir una proporción. Enumerar las propiedades de las proporciones. Definir la división de un segmento en una razón dada. Demostrar el teorema fundamental de segmentos proporcionales y su recíproco. Demostrar el teorema de la bisectriz (interior o exterior) de un triángulo y su recíproco.Giovanni Ceva (1648-1734). Matemático italiano nacido en Milán y muerto en Mantua.

básicas Preguntas b sicas
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ¿Qué es una razón? ¿Qué es una proporción? ¿Cómo se llaman los elementos de una proporción? ¿Qué propiedades tienen las proporciones? ¿Qué son segmentos proporcionales? ¿Cómo se establecen proporciones entre segmentos? ¿Cuál es el teorema de la bisectriz? ¿Cómo secalculan los segmentos determinados por las bisectrices?

Introducción Introducc n
Se inicia este módulo con una revisión sobre las proporciones de cantidades reales y se pasa luego a estudiar los segmentos proporcionales. Se analizan después los segmentos determinados, sobre los lados de un triángulo, por una secante paralela al tercer lado del triángulo. Se termina con el análisis de lossegmentos determinados por la bisectriz (interior o exterior) de un triángulo, sobre el lado opuesto de su prolongación.
Vea el módulo 20 del programa de televisiÛn GeometrÌa Euclidiana

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CapÌtulo 6: Relaciones mÈtricas

20.1 Proporciones (revisi n) (revisión) Definición Definici n 20.1.1
Una razón es la relación que establecemos entre dos cantidades de la mismaclase en las mismas unidades. La relación entre las dos cantidades es el cociente entre las medidas de los elementos indicados. Podemos, por ejemplo, establecer la razón entre las longitudes de dos segmentos cualesquiera, o entre las medidas de dos ángulos si estas medidas están en las mismas unidades. La razón entre dos cantidades a y b la denotamos
a , a / b, a ÷ b o a : b y la b

leemos “a es ab”, con b ≠ 0 . Como una razón es una fracción, entonces todas las propiedades o leyes que rigen a las fracciones se pueden aplicar a las razones. Una razón es una cantidad abstracta que nos indica el número de veces que una cantidad contiene a otra y se expresa lo más simplificado posible. En la razón a : b , a y b se llaman términos de la razón; a es el antecedente y b es el consecuente. Si...