Segundo Trabajo Teoría De Números

Trabajo teoría de números

Bases:
“Estamos tan acostumbrados al sistema de números actual, usando los 10 dígitos decimales que puede producir sorpresa el advertir que hay modos completamente diferentes de escribir números. Resulta que 10 es el número de dedos de las manos en el ser humano, que son ideales para contar, pero si en su lugar hubiéramos desarrollado siete dedos, o doce, sistemas muysimilares hubiesen funcionado igual de bien, quizá mejor en algunos casos.”
La anterior cita sugiere un concepto muy fundamental para la representación de números, el cual ha sido usado de manera inconsciente desde que existe el hombre. La mayoría de personas en el mundo sabe que en la antigüedad, surgieron algunos sistemas de numeración, que se usaban para representar esa herramienta que lespermitía, por ejemplo, saber cuántas piezas de pan caben en un cesto rectangular de determinada altura. La definición a un sistema de numeración, por lo menos de manera intuitiva es, aquel conjunto de símbolos y reglas que nos permite clasificar, enunciar y representar racional y ordenadamente los números. Pero nuestro concepto es mucho más simple que la definición dada y dicho concepto es el debase. Una base es el número de elementos que hay en el conjunto de símbolos. Por ejemplo, en el caso del sistema decimal, la base es 10, pues en el conjunto de símbolos hay 10 elementos, a saber 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 y 9; en base 3 existen tres números, 0,1 y 2.Perspicazmente diríamos que en un conjunto con elementos, su base es . La importancia de las bases es que cualquier número puede serescrito en términos de dichas bases, por ejemplo, vamos a escribir 12 en base 10 sería algo así como ;escribamos el mismo 12 en base tres; sería algo como ,en términos de los símbolos del conjunto sería 110;escribamos el mismo 12 pero ahora en base 2, sería algo así como .en términos de los símbolos del conjunto sería 1100.intuitivamente,si tenemos un número entero mayor que uno, digamoscualquier número se podría escribir en términos de y los elementos del conjunto. Esto último motiva el siguiente teorema.
TEOREMA:
Dado un entero , cualquier entero positivo se puede escribir en forma única en términos de potencias de como:

Donde .
Demostración:
Usando el algoritmo de la división, existen enteros y tales que:
Con .
Si el proceso termina, pues sería un elemento delconjunto de “símbolos”;i,e; el elemento hace parte del menor sistema completo de residuos módulo ; y tomamos y así : . Si se puede volver a aplicar el algoritmo de la división para obtener , con y entonces:

Con .Nuevamente, si , el proceso termina tomando y así . Si no, entonces y se puede volver a aplicar el algoritmo de la división obteniendo tales que , con , de ahí que:

Note que de setiene que .Esto último es válido también para ; es decir .
Si se continúa el proceso se tiene una sucesión estrictamente decreciente de enteros positivos , tales que .Entonces este proceso debe terminar en algún momento. Supongamos que el proceso termina en el paso, donde:

Con y ( está en ese intervalo, pues el proceso ya se terminó).Sea , entonces se tiene que:

Para demostrar que estarepresentación es única, vamos a suponer que tiene dos representaciones diferentes; es decir:

Con para cada y para cada .Note que en las representaciones y no necesariamente deben tener la misma longitud.Para resolver esto compensamos las posiciones que hacen falta añadiendo a las representaciones ó .Luego, de y se tiene que , donde cada , para cada .Como se supone que las dosrepresentaciones de son diferentes,se tiene que para algún (no para todos, sino para algunos).Además, algunos coeficientes pueden ser cero. Supongamos que es el menor subíndice tal que , entonces:

Despejando y dividiendo por se tiene que .De ello que .Ahora, como y se tiene que o equivalentemente .Luego, como y la única forma de que esto se de es que , lo cual es una clara contradicción, pues...