Seminario ingenieria mecanica

LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:
Sistemas de ecuaciones, no es más que un conjunto de ecuaciones con más de una (1) incógnita, que al resolverlas tienen la misma absolución.

TÉRMINOS EMPLEADOS EN SISTEMA DE ECUACIONES:

Las dimensiones de un sistema de ecuaciones depende: primero, del número de ecuaciones (al cual llamaremos m), y segundo, del número de incógnitas (al que llamaremos n).Entonces la dimensión de un sistema la definiremos m x n.

Sistema 2x2 Sistema 3x3 Sistema 3x2

3x + 10y = 1 x + 2y – z = 2 2x – y = 4
2x – 3y + z = 1 3x + 6y = -2
4x – 3y = 4 4y + 2z = 1 4x – 2y = 3

Los sistemas de ecuaciones se puedenconsiderar homogéneos o no homogéneos:

Los sistemas homogéneos: son aquellos que tienen todos los términos independientes iguales a cero y una de sus soluciones es aquella en la que todas las incógnitas tienen como valor cero (0).

Los sistemas no homogéneos: son aquellos en los que por lo menos uno de los términos independientes es distinto de cero (0).

Los sistemas deecuaciones denominados compatibles, son aquellos que tienen solución y pueden categorizarse como compatibles determinados e indeterminados. Un sistema es compatible determinado, cuando tiene un número finito de soluciones en cuanto a un sistema compatible indeterminado, es cuando tiene un número infinito de soluciones.
Por otro lado podemos señalar que un sistema incompatible, es aquel que notiene solución.

Método de Sustitución:

Este método, como su nombre lo dice, consiste básicamente en sustituir expresiones y valores en las ecuaciones para encontrar la solución del sistema.

Ejemplo:


3x + 2y = -32 a1 = 3 b1 = -2 a1 ≠ b1
a2 4 b2 7 b2 b2
4x – 7y = 25

El sistema es no homogéneo, porquec1≠0 y c2≠0
Paso 1: Denotamos cada ecuación con un número, para diferenciarla.
3x + 2y = -32 (1)

4x – 7y = 25 (2)

Paso 2: Elegimos una de las ecuaciones para despejar una de las incógnitas, en este caso tomamos la (2) para despejar “x ”. Es indistinto la ecuación que se elija y la incógnita que se despeje.

4x – 7y = 25 ec.2.

X = 25+ 7y ec.3.
4
Paso 3: Sustituimos la expresión correspondiente a “ x ”, en la ecuación del sistema que no fue tomada, en este caso es la ec (1).

3x + 2y = -32 ec.1.

25 + 7y
3 4 + 2y = - 32

Paso 4: Obtenemos una ecuación de primer grado con una incógnita y la resolvemos.

75 + 21y + 2y = -32 Suma de fracciones, considerando que2y = 2y el minimo entre 4 y 1 es 4.
4 1

75 + 21y + 8y = -32 El 4 pasa multiplicando a -32
4

75 + 21y + 8y = −128

21y + 8y = −128 – 75 Agrupamos términos semejantes.

29y = −203 y = - 203 = -7
29

Paso 5: Sustituimos el valor de la incógnita encontradaen cualquiera de las ecuaciones (1); (2) ó (3), generalmente se elige la que considere más sencilla. En nuestro ejemplo elegimos la ecuación (3), pues “x” ya aparece despejada y sustituimos y = - 7.

X = 25 + 7y = X = 25 + 7(-7) = x = -24 = -6
4 4 4

Paso 6: Comprobación.Sustituimos x = - 6 y = - 7 en ambas ecuaciones del sistema original.


3x + 2y = -32 4x – 7y = 25
3(-6) + 2(+7) = -32 4(-6) -7(-7) = 25
-18 -14 = -32 -24 + 49 = 25
-32 = -32 25 = 25

Paso 8: Presentamos la...