Ingeniería mecánica

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1. Dado un sistema de segundo orden:
Gs=ωn2s2+2ζωns+ωn2
Considere el caso particular para el cual ωn=10 rads y ζ=0.8, se tiene:

Gs=100s2+16s+100
Hallar:
* Tiempo de subida.
* Tiempo pico.
* Sobre impulso máximo.
* Tiempo de asentamiento.

Analíticamente se tiene:
Gs=ωn2s2+2ζωns+ωn2=CsRs
→ Cs=GsRs
Donde la entrada escalón unitario ut=1 corresponde a:Rs=1s
Cs=GsRs=ωn2s(s2+2ζωns+ωn2)
Aplicando la transformada de Laplace
L-1Cs=Ct=1-11-ζ2e-ζωntsen (ωn1-ζ2t+tan-11-ζ2ζ)
Ct=1-53e-8t∙sen6t+0,6435(a)
* El tiempo de subida se tiene cuando la respuesta alcanza el 100% (sistema subamortiguado) de la respuesta es decir, Ct=0,1*1=0,1
0,1=1-53e-8t∙sen(6t+0,6435)
tr= 0,415 s (por decimaneles)tr=π-θwn1-ζ2=π-cos-1(0,8)101-0,82=0,416 s
* Derivando la ecuación (a) e igualando a cero se tiene el tiempo pico:

C't=403e-8t∙sen6t+0,6435-303e-8t∙cos6t+0,6435=0
tp=0.529 s
* Para hallar el sobre impulso usamos la siguiente ecuación:
Mp=Ctp-1*100%
Evaluamos Ct en tp :

Ctp=1-53e-8t∙sen6t+0,6435=1,0151

Mp=1,0151-1*100%=1,513%

* Para hallar el tiempo de asentamiento con el criterio del2% se tiene:

e-ζωnt=0.02 → ts=-ln0.02ζωn=-ln0.028=0,489 s
Utilizando en programa MATLAB y graficando la función de transferencia con =0.8 y wn=10rass se obtuvo:
Gs=100s2+16s+100

Gráfica 1. Respuesta de un sistema de segundo orden con =0,8 (subamortiguado 0 < < 1 ) y wn=10rass

Tabla de comparación
Variable | Datos analíticos | Datos MATLAB |
Tiempo de subida(tr) | 0,416 | 0,417 |
Tiempo tipo ( tp) | 0.529 | 0,53 |
Sobreimpulo máximo (%) | 1,513 | 1,51 |
Tiempo de asentamiento (ts) | 0.489 | 0,376 |

2. Considere el sistema en lazo cerrado definido por:
CsRs=1s2+2ζs+1
Dibuje las curvas de respuesta ante una entrado escalón cuando ζtomas los siguiente valores: ζ=0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0
Consigne en una tabla los valores de: tiempo desubida, tiempo pico, sobre impulso máximo y tiempo de asentamiento para cada uno del valor dado de ζ estudiado, analice los resultados obtenidos.

Para una entrada escalón unitario ut=1 , entonces Rs=1s
Cs=GsRs=1s∙1s2+2ζs+1

Para ζ=0 se tiene:

Cs=1s∙11+s2 aplicando la transformada se tiene: L-1Cs=Ct=1-cost , esta función permite deducir que la salida no tiene amortiguación, es decir, en lainfinidad del tiempo se comporta oscilantemente por lo las variables solicitadas son indeterminadas.

Para ζ=0,1

Gs=CsRs=1s2+0,2s+1
En general la salida para un sistema de segundo y una entrada escalón unitario corresponde a :
Cs=GsRs=1s∙ωn2s2+2ζωns+ωn2 , aplicando la trasformada de la LaPlace, tiene:

L-1Cs=Ct=1-11-ζ2∙e-ζωnt∙sen (ωn1-ζ2t+tan-11-ζ2ζ) [a]

Derivando e igualando acero:
C't=-11-ζ2-ζωne-ζωntsen (ωn1-ζ2t+tan-11-ζ2ζ)+ (ωn1-ζ2)e-ζωntcos (ωn1-ζ2t+tan-11-ζ2ζ) [b]
De la ecuación se deduce wn=1 rads , como ζ= 0,1 se tiene un sistema subamortiguado por lo que el tiempo de subida corresponde a:
0,1=1-1,005e-110tr∙sen(0,995tr+1,471) tr=1,679 s
Tiempo pico
0=0,101e-110tr∙sen(0,995t+1,471)-0,999e-110tp∙cos⁡(0,995tp+1,471) tp=3,157 sSobreimpulso máximo
Mp=e-ζπ1-ζ2∙100%=72,92 %
Tiempo de asentamiento
e-ζωnts=0.02 ts=39,12 s
Igual procedimiento se debería seguir para cada uno de los . Con la ayuda de MATLAB se obtuvieron los siguientes resultados:
  | , ωn=1rads(cte) |
Variable | 0 | 0,1 | 0,3 | 0,5 | 0,9 | 1,1 |
Tiempo de subida | NE | 1,68 | 1,97 | 2,42 | 6,18 | 3,87 |
Tiempo pico | 9,42 | 3,14| 3,14 | 3,6 | 7,8 | Indeterminado |
Sobreimpulso máximo (%) | NaN | 72,9 | 36,8 | 16,3 | 0,152 | Indeterminado |
Tiempo de asentamiento | NE | 38,4 | 11,2 | 8,08 | 4,7 | 6,92 |
Datos obtenidos de MATLAB

Gráfica 2. Variación de para un sistema de segundo orden manteniendo constante ωn con una entrada escalón unitario
Al hacer variar en un sistema de segundo orden y ωn permanece...
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