Serie Fourier, Grafos Y Árboles
Páginas: 16 (3893 palabras)
Publicado: 6 de diciembre de 2012
Universidad Tecnológica de Morelia---ITI
06 de Diciembre de 2012
MATEMÁTICAS APLICADAS Y MATEMÁTICAS DISCRETAS
Serie de Fourier, Grafos y Árboles
Reynaldo de Jesús Farfán Núñez
Maestra: Marina Tapia
1. SERIES DE FOURIER
FUNDAMENTOS DE LA SERIE DE FOURIER
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. Éstas surgieron históricamente
al resolver por el método deseparación de variables un problema de contorno de ecuaciones
en derivadas parciales.
Cuando estas fórmulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1753, muchos
matemáticos pensaron que era imposible expresar una función f(x) cualquiera como suma
de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encargó de recopilar datos
para convencer al mundo científico de tal posibilidad.Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación desenos y cosenos con frecuencias enteras). Jean-Baptiste Joseph Fourier desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser unaherramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora delmismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.
SERIES DE FOURIER DE SENOS Y COSENOS:
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
Se trata de obtener una serie de Fóurier de cosenos en el intervalo total, para ello vamos a considerar una
función par. Sea la función auxiliar f (x) tal que sea igual ala función g (x) entre (0,π ) e igual a g (-x) entre
(- π , 0). Es decir:
Desarrollemos f (x) en serie de Fóurier, por ser una función par, bn = 0.
Luego para valores de x ϵ (-π,π) se obtiene la serie
Pero como f(x) es igual a g(x) entre 0 y π
El resultado obtenido solo es válido en el intervalo (0, π )
De la misma forma se podrá obtener unaserie solo de senos, si la función es impar se tiene
En este caso por ser la función impar se verifica: an = 0, ao = 0
APLICACIONES
La serie de Fourier tiene muchas aplicaciones, algunas de ellas son:
Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados porosciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
Análisis en el comportamiento armónico de una señal
Reforzamiento de señales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en regimen permanente senoidal en eldominio de la frecuencia.
Un ejemplo sería:
Onda cuadrada alta frecuencia
Una aplicación simple de la Serie de Fourier la podemos encontrar en el análisis de circuitos electrónicos que son diseñados para manejar pulsos variables agudos, tales como, una onda cuadrada o un "diente de sierra". Supongamos que una onda cuadrada está definida por la función:
A partir de la definición, de los...
06 de Diciembre de 2012
MATEMÁTICAS APLICADAS Y MATEMÁTICAS DISCRETAS
Serie de Fourier, Grafos y Árboles
Reynaldo de Jesús Farfán Núñez
Maestra: Marina Tapia
1. SERIES DE FOURIER
FUNDAMENTOS DE LA SERIE DE FOURIER
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. Éstas surgieron históricamente
al resolver por el método deseparación de variables un problema de contorno de ecuaciones
en derivadas parciales.
Cuando estas fórmulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1753, muchos
matemáticos pensaron que era imposible expresar una función f(x) cualquiera como suma
de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encargó de recopilar datos
para convencer al mundo científico de tal posibilidad.Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación desenos y cosenos con frecuencias enteras). Jean-Baptiste Joseph Fourier desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser unaherramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora delmismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.
SERIES DE FOURIER DE SENOS Y COSENOS:
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
Se trata de obtener una serie de Fóurier de cosenos en el intervalo total, para ello vamos a considerar una
función par. Sea la función auxiliar f (x) tal que sea igual ala función g (x) entre (0,π ) e igual a g (-x) entre
(- π , 0). Es decir:
Desarrollemos f (x) en serie de Fóurier, por ser una función par, bn = 0.
Luego para valores de x ϵ (-π,π) se obtiene la serie
Pero como f(x) es igual a g(x) entre 0 y π
El resultado obtenido solo es válido en el intervalo (0, π )
De la misma forma se podrá obtener unaserie solo de senos, si la función es impar se tiene
En este caso por ser la función impar se verifica: an = 0, ao = 0
APLICACIONES
La serie de Fourier tiene muchas aplicaciones, algunas de ellas son:
Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados porosciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
Análisis en el comportamiento armónico de una señal
Reforzamiento de señales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en regimen permanente senoidal en eldominio de la frecuencia.
Un ejemplo sería:
Onda cuadrada alta frecuencia
Una aplicación simple de la Serie de Fourier la podemos encontrar en el análisis de circuitos electrónicos que son diseñados para manejar pulsos variables agudos, tales como, una onda cuadrada o un "diente de sierra". Supongamos que una onda cuadrada está definida por la función:
A partir de la definición, de los...
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