Investigación: series de fourier, trasformadas de la place y árboles y grafos.

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Investigación: Series de Fourier, trasformadas de la place y árboles y grafos.

Series de Fourier

Series de Fourier
Las series de Fourier surgen de la tarea práctica de representar una función periódica f(x) dada en términos de funciones seno y coseno. Estas series son trigonométricas cuyos coeficientes se determinan a partir de f(x) mediante ciertas fórmulas (las “fórmulas deEuler”), las cuales se establecerán primero, después se considera la teoría de las series de Fourier.
Fórmulas de Euler para los coeficientes de Fourier

Series de Fourier

En el ejemplo de la figura 231 como la an son cero, la serie de Fourier de f(x) es:

Las sumas parciales son:

Y sus graficas en la figura 231 parecen indicar que la serie es convergente y que tiene la suma f(x), lafunción dada. Se observa que en x = 0 y x =π, los puntos de discontinuidad de f(x), todas las sumas parciales tienen el valor cero, la media aritmética de los valores –k y k de la función en cuestión.
Además, suponiendo que f(x) es la suma de la serie y haciendo x = π/2, se tiene:

Por tanto

Este es un famoso resultado de la Leibniz en 1673 a partir de consideraciones geométricas. Ilustra quelos valores de varias series con términos constantes pueden obtenerse evaluando la serie de Fourier en puntos específicos.
Convergencia y suma de series de Fourier
En todo este capítulo las series de Fourier se consideran desde el punto de vista práctico. Se verá que la aplicación de estas series es muy sencilla. En contraste con esto, la teoría de dichas series es complicada y no se entenderáen los detalles de la misma. Por lo consiguiente, sólo se aborda un teorema sobre la convergencia y la suma de series de Fourier, que se representa a continuación.
Suponer que f(x) es cualquier función periódica dada de periodo 2π para las que existen las integrales de (6); por ejemplo, f(x) es continua o tan solo continua por secciones (continua salvo por un número finito de saltos en elintervalo de integración), entonces pueden calcularse los coeficientes de Fourier (6) de f(x) y usarlos para formar la serie de Fourier 87) de f(x). Sería muy conveniente que la serie así obtenida convergiera y tuviera la suma f(x). La mayoría de las funciones que se representan en las aplicaciones son tales que esto se cumple (salvo en los saltos de f(x), los cuales se discuten a continuación). En estecaso, cuando la serie de Fourier de f(x) representa a f(x), se escribe con un signo de igualdad.

Si la serie de Fourier de f(x) no tiene la suma f(x) o no converge, se sigue escribiendo con una tilde la cual indica que la serie trigonométrica del segundo miembro tiene los coeficientes de Fourier de f(x) como coeficiente, por lo que se trata de la serie de Fourier de f(x).

La clase de lasfunciones que pueden representarse por series de Fourier es sorprendentemente grande y general.

Demostración del teorema 1:

Transformada de la place

Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría deprobabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son
1. Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación, la mecánica defluidos, el magnetismo y la física atómica.
2. Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anécdota, el libro inicia con palabras que más o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es sino el sentido común reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un...
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