Serie

El M´todo del Lugar de las Raices e
Antonio Flores T./ Universidad Iberoamericana-Santa Fe March 2, 2004

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Introducci´n o

Uno de los m´todos m´s simples para el dise˜o de controladores feedback de ganancia e a n pura es el m´todo denominado del lugar de las raices (root-locus). El m´todo se basa e e en graficar la ubicaci´n de los polos de la ecuaci´n caracter´ o o ıstica del sistema.Para ejemplificar esto, consideremos el problema de control servo mostrado en la figura 1. la funci´n de transferencia entre la respuesta del sistema a lazo cerrado (y) y la se˜al o n
r + e u y

Kc
-

Gp

Figura 1: Esquema de control a lazo cerrado para seguimiento de se˜ales. n de referencia (r) est´ dada por a K c Gp y = r 1 + Kc G p (1.1)

cuya ecuaci´n caracter´ o ıstica es eldenominador de la funci´n de transferencia anterior o 1 + Kc G p = 0 por ejemplo, para una planta de primer orden sin retardo Gp = la ecuaci´n caracter´ o ıstica est´ dada por a τ s + (Kc K + 1) = 0 (1.4) K τs + 1 (1.3) (1.2)

de donde tenemos que la ubicaci´n s del unico polo del sistema a lazo cerrado estar´ o ´ ıa dado por la soluci´n de la ecuaci´n anterior o o s=− (Kc K + 1) τ (1.5)

o debemosnotar que, para la planta dada Gp , la ubicaci´n del polo depende completamente del valor de la ganancia del controlador (Kc ).

Si la planta a controlar estuviese representada por una funci´n de transferencia de o segundo orden Gp = τ 2 s2 K + 2ζτ s + 1 (1.6)

entonces la ecuaci´n caracter´ o ıstica del sistema estar´ dada por ıa τ 2 s2 + 2ζτ s + (Kc K + 1) = 0 la ubicaci´n de los polos s1,2est´ dada por la soluci´n de la ecuaci´n anterior o a o o s1,2 = −ζ ± ζ 2 − (Kc K + 1) τ (1.8) (1.7)

de nueva cuenta observamos que, para la planta dada Gp , la ubicaci´n de los polos s1,2 o depende completamente de la ganancia del controlador Kc . El diagrama de ubicaci´n de las raices se basa en determinar, para cada valor o propuesto de la ganancia del controlador Kc , las raices (quecorresponden a los n polos del sistema a lazo cerrado, donde n es el grado del polinomio caracter´ ıstico) de la ecuaci´n caracter´ o ıstica; obteniendose as´ una tabla como la siguiente. ı Kc Kco Kc1 . . . Kcm s1 s1,o s1,1 . . . s1,m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sn sn,o sn,1 . . . sn,m

si graficamos la parte imaginaria contra la parte real de la ubicaci´n de cada polo o o sn,m obtenemos eldiagrama de la ubicaci´n de las raices. Normalmente para obtener el diagrama de ubicaci´n de las raices se empieza usando un valor de ganancia del o controlador igual a cero (Kc,o = 0) y se termina hasta un valor o cota superior de ganancia del controlador (Kc,m → ∞); en muchos casos Kc,m es simplemente el valor de la ganancia del controlador con la cual el sistema a lazo cerrado se vuelveinestable. Ejemplo 1 Obtener el diagrama de ubicaci´n de las raices para la planta a lazo abierto o dada por Gp = s3 + 16s2 3 + 65s + 50

Usando un controlador puramente proporcional Kc , la ecuaci´n caracter´ o ıstica est´ dada a por s3 + 16s2 + 65s + (3Kc + 50) = 0 en la siguiente tabla se muestran los valores de los polos del sistema a lazo cerrado para algunos valores de Kc . 2

Kc 0 20 40 60 80100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

s1 -10.0000 -11.0000 -11.6814 -12.2213 -12.6772 -13.0761 -13.4333 -13.7585 -14.0581 -14.3367 -14.5976 -14.8434 -15.0763 -15.2977 -15.5091 -15.7114 -15.9057 -16.0926 -16.2729 -16.4471 -16.6157

s2 -5.0000 -2.5000 - 1.9365i -2.1593 - 3.1449i -1.8893 - 3.9051i -1.6614 - 4.4850i -1.4620 - 4.9628i -1.2833 - 5.3735i -1.1207 - 5.7363i-0.9709 - 6.0628i -0.8317 - 6.3609i -0.7012 - 6.6360i -0.5783 - 6.8919i -0.4619 - 7.1316i -0.3511 - 7.3575i -0.2455 - 7.5714i -0.1443 - 7.7746i -0.0472 - 7.9685i 0.0463 - 8.1540i 0.1364 - 8.3320i 0.2235 - 8.5031i 0.3078 - 8.6681i

s3 -1.0000 -2.5000 + 1.9365i -2.1593 + 3.1449i -1.8893 + 3.9051i -1.6614 + 4.4850i -1.4620 + 4.9628i -1.2833 + 5.3735i -1.1207 + 5.7363i -0.9709 + 6.0628i -0.8317 +...