Series alternantes

SERIES ALTERNANTES Y CONVERGENCIA ABSOLUTA

Hasta este tema los criterios que teníamos para convergencia requerían de una serie con términos positivos. Estos criterios nos llevaban al concepto deseries absolutamente convergentes. Sin embargo, muchas veces nos tendremos que conformar con que una serie sea simplemente convergente y no requerir que sea absolutamente convergente.
Este es elcaso de las series alternantes, series en las cuales se alternan términos positivos y negativos. Estas series son del tipo:

n=1∞-1nan=

Criterio de la Series Alternantes

Si la serie alternantees monótona decreciente para una n suficientemente grande tenemos lo que se denomina el Criterio de Leibniz o Criterio de las series alternantes:

n=1∞-1nan Converge si:an>an+1>0 ∨nlimn→∞an=0Para poder demostrar este teorema separaremos las sumas parciales pares de las impares. Las sumas parciales pares se pueden organizar de la siguiente manera:

S2m=a1-a2+⋯+a2m-1-a2mS2m=a1+-a2+a3+⋯+-a2m-2+a2m-1-a2m

Se puede ver que la sumatoria está acotada superiormente por a1, y además es creciente pues an-an+1>0 para toda n. Podemos afirmar entonces que tiene un límite:L=limm→∞S2m

Veamos ahora qué pasa con las sumas parciales impares, notemos que las primeras sumas parciales se ven como sigue:

S2m+1=S2m+a2m+1
limm→∞S2m+1=limm→∞S2m+limm→∞a2m+1=S+0

Pues sabemos que lasubsucesión a2m+1 tiende al mismo límite que an. Por lo tanto el límite de la serie es S, y en consecuencia converge.

Criterio de la Convergencia Absoluta

Para estudiar la convergencia de una seriedada n=1∞an siempre podemos asociarle otra de la forma n=1∞an, es decir la serie de valores absolutos, con lo cual garantizamos la positividad (y que sean números reales) de los términos de la serie.Si la serie de los valores absolutos n=1∞an converge, entonces también convergerá la serie original n=1∞an y diremos que esa serie es absolutamente convergente.
Sin embargo si la serie de...