Series, Calculo Integral

Serie
Definición de serie
Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas.
Aunque se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia.
Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como el último término.
Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción.
Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puedeconsiderar como una serie finita, mientras qu e una serie de la forma {2,
4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
En algunos casos, es beneficioso convertir un número o una función en forma de series infinitas lo cual a
s u vez puede ayudar en su cálculo.
Incluso puede lograr que el cálculo complejo s ea más fácil.
Por ejemplo, para el cálculo exponencial, este puede ser convertido en laforma:

Esta técnica de expansión puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener los valores estimados de
la función, de las integrales o para resolver ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales.
Cuando la serie infinita es remplazada por la suma de los términos iniciales de la serie, un valor de error
aproximado puede ser estimado, lo que a su vez, ayuda en la determinación dela razón de converg encia
efectiva para la serie correspondiente.
Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes
propiedades:
1. Si el término parcial de la sucesión de la serie converge, entonces se dice que toda la serie es
c onvergente. Por otro lado, si el término parcial de la sucesión diverge, la serie también diverge.
2. En caso que elresto de alguna parte de la serie converja, entonces toda la serie converge y
viceversa.
3.

Si una
forma

serie

de

4. Si la serie de la forma

la

forma
c onverge,
c onverge también.

entonces

c onverge, entonces la serie de la forma

la

s erie

de

c onverge.

la

5. La serie

c onverge, sólo con la condición de que

también converja.
es convergente si α> 1y

6. Se dice que una serie de l a forma
diverge en el caso inverso, es decir, cuando α 0, el cual satisface la condición

, n>nε. Aquí p es un entero positivo.
Una serie que contiene los términos positivos tiene su importancia en la teoría de las series.
Una condición necesaria e importante para que estos tipos de series sean convergentes es que la
s ucesión de la suma parcial debe serlimitada.

Por otro lado, si se cumple la c ondición

, entonces la serie diverge.

Veamos un ejemplo del concepto de series convergentes y divergentes. Suponga que la forma de la serie.
Con el fin de determinar si la serie dada converge o diverge, lo primero y más importante a determinar es si
la suma parcial de la sucesión diverge o converge. La suma parcial de la sucesión para la seriec orrespondiente puede ser dada como
la suma parcial es divergente al infinito

Se puede observar que el límite de los términos de
.

Por lo tanto, se dice que toda la serie es divergente.

Series Finitas
Al contrario de la serie infinita que contiene un númer o infinito de términos, una serie finita es una serie que
c ontiene un número finito de términos o en otras palabras, contienepredefinido el primer y el último
término.
Un ejemplo de serie finita podría ser de la forma:

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Aquí ‘i’ es el índice de la suma y toma los valores desde 1 (el límite inferior) hasta n (límite superior). ai
denota el término general.
Las series finitas son ampliamente utilizadas en el campo de la ciencia y las computadoras. Las series
finitas contienen conceptos simplespero efectivos.
Existen dos tipos posibles de series finitas:
Series Aritméticas: Una sucesión aritmética tiene un número finito de términos que difieren en una
c antidad constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 6, 8, 10…}. Una serie aritmética es
s implemente la suma de la sucesión aritmética.
Series Geométricas: En una sucesión geométrica el cociente de 2 términos consecutivos...