Series En Calculo Integral

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límiteidentificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero adiferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

De la

Ejemplos:

Definición:
El símbolo griego sigma indica que el sumando [en el último ejemplo] toma cada uno de los valores que debe recorrer partiendo desde el límite inferior hasta llegar al límite superior a través de los enteros. Como se indica, el sumando se suma tantas veces como el número de enteros que recorra .
El límite superior en los dos primeros ejemplos es 3 y en el tercero no se deja explícito,  puede tomar cualquier valor entero.  lleva lacontabilidad de los términos incluidos en la suma y el valor más alto que toma es  (va desde  = 1 hasta  = , con  un número entero).
Es fácil demostrar la siguiente propiedad de las sumatorias: 
| (I3) |
donde  es una constante que no depende de k. En palabras, cada vez que tenemos un factor que se repite en cada uno de los términos de la sumatoria, lo podemos sacar como factor común en frente de lasumatoria.
Para demostrarlo debemos usar la siguiente propiedad de los números:  Esta es la sumatoria anterior con 

Ejemplo(The College Mathematics Journal, Vol. 62, # 5, Dec. 89.)
Demuestre la siguiente igualdad entre sumatorias:

Solución
A continuación se incluye una demostración ingeniosa que hace uso del método gráfico para demostrar la igualdad.
Se escribe el mismo arreglo denúmeros uno al lado de otro, como se indica en la Figura anterior. (No es natural, por supuesto, que a uno se le ocurra espontáneamente este tipo de demostración, es necesario mucho trabajo y un poco de ingenio).
La idea consiste en sumar los números de los arreglos agrupados en forma diferente, de manera que reflejen a cada una de las sumatorias propuestas. Como los números en ambos arreglosson iguales, el valor de la suma debe ser el mismo; de esta forma demostramos la igualdad entre ambas sumas.
En esta Figuras se suman, en ambos casos, los números de acuerdo a la caja que los contiene (rectangular o formando un ángulo recto). El valor de la suma de cada una de las cajas se indica al pie de la misma Figura.
En el caso del arreglo ubicado a mano izquierda, se ha sacado -usando laregla de factorización recién descrita- un factor común en cada una de las sumatorias individuales, que corresponde al número , de acuerdo a la posición del rectángulo horizontal. En seguida uno puede darse cuenta que es posible sacar la sumatoria de  como factor común:

Dejamos como ejercicio comprobar que los términos al pie de la Figura de la derecha corresponden, efectivamente, a la suma delos números encerrados dentro de cada uno de los cajas en forma de ángulo recto.
El mismo resultado puede ser obtenido usando geometría. Para ello debemos pensar que , corresponde al área de un terreno cuadrado que tiene  metros (por dar una unidad de longitud) por lado. A continuación se dibuja el terreno a escala (la longitud 5, por ejemplo, tiene cinco unidades de largo) y se calcula el...