Series de fourier y transformada de la place

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Series de Fourier y Transformada de La Place













INDICE

Definición de la serie de Fourier 2
El conjunto de funciones 3
Series de Fourier de cosenos y de senos 4
Resumen de las constantes de la series de Fourier 5
Serie de Fourier en forma compleja 6
Aplicaciones de la Serie de Fourier 8
¿Qué es la Transformada de Laplace? 12
Definición de la Transformadade Laplace 12
Condiciones suficientes para la existencia 13
Transformada inversa 13
Teoremas de traslación 14
La transformada inversa 16
Aplicación de la tranformada en Circuitos eléctricos 18




















¿Que es la Serie de Fourier?

En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es unarepresentación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma
[pic]que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadasrelacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.


Definición de la serie de Fourier


Supongamos que [pic]es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes [pic]0, 1, 2,..., para el cual[pic]
Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes [pic] mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por [pic] e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:
[pic]
[pic]
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación escero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos
[pic]
Entonces los coeficientes que buscamos son
[pic]


En otras palabras, [pic] (1)


En la que [pic] (2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( oproducto punto ), es
[pic] (3)

El conjunto de funciones

[pic] (1)
es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica
[pic] (2)Entonces, los coeficientes [pic] pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.
Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene
[pic] (3)
Como cada función [pic], [pic] n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,[pic]
Al despejar [pic] se obtiene
[pic] (4)
Ahora multipliquemos la ecuación (2) por [pic] e integremos:
[pic] (5)
por la ortogonalidad tenemos que
[pic]
[pic]
y [pic]
Entonces la ecuación 5 se reduce a [pic]
Y así [pic](6)

Por último si multiplicamos a (2) por [pic], integramos y aplicamos los resultados
[pic]
[pic]
[pic]
llegamos a [pic] (7)

La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es

[pic] (8)...
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