Series De Fourier

SERIES DE FOURIER
CONCEPTOS BÁSICOS Las series de Fourier permiten representar funciones periódicas mediante combinaciones de senos y cosenos (serie trigonométrica de Fourier) o de exponenciales(forma compleja de la serie de Fourier). Si f es una función periódica de período 2T seccionalmente continua, admite la siguiente representación en los puntos de continuidad:
f (t ) = Donde: a0 ∞  nπ tnπ t  + ∑  a n cos + bn sen  2 n =1  T T 

1 a + 2T nπ t ∫a f (t ) cos T dt T 1 a + 2T nπt bn = ∫ f (t ) sen dt T a T an = Nótese que las integrales pueden ejecutarse entre dos valorescualesquiera separados por un período. En los puntos de discontinuidad de la función, la serie anteriormente mencionada converge a la semisuma de los límites laterales de la función. Otra forma derepresentar la misma función es mediante una serie compleja, en la cual se aprovecha la fórmula de Euler ea + ib = ea(cosb + isenb). Resulta, en tal caso: f (t ) = ∑ c n e inπt / T
−∞ ∞

Donde:
cn = 1 2T∫

T

−T

f (t )e −inπt / T dt

PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Serie de Fourier de una función periódica de período distinto a 2π. Hallar la serie trigonométrica de Fourier para la funciónperiódica definida por:

t 2 , 0 < t < 2 f (t ) =   f (t + 2) = f (t )
SOLUCIÓN

Aquí T = 1. Hallemos en primer lugar los coeficientes. Son:
por partes ↓

a n = ∫ t cos nπtdt
2 0

2

=

2nπtcos(nπt ) − 2 sen(nπt ) + n 2π 2 t 2 sen(nπt ) = n 3π 3 0

2

=
2 2

4nπ cos(2nπ ) − 2 sen(2nπ ) + 4n 2π 2 sen(2nπ ) 4 = 2 2 3 3 nπ nπ
2

2nπt sen(2nπ ) + 2 cos(nπt ) − n 2π 2 t 2 cos(nπt )bn = ∫ t sen nπtdt = = 0 n 3π 3 0 4nπ sen(2nπ ) + 2 cos(2nπ ) − 4n 2π 2 cos(2nπ ) 2 1 − 3 3 =− 3 3 nπ nπ nπ El coeficiente a0 debemos calcularlo por separado, dado que la forma de an obtenida arribano está definida para n = 0. Calculamos, así:
t3 a 0 = ∫ t cos 0πtdt = 0 3
2 2 2

=
0

8 3

De esa forma, la serie de Fourier buscada será:
f (t ) = 4 ∞  4 4  sen nπt  + ∑  2 2 cos...