Series De Fourier

TEMA 1

Funciones ortogonales y series de Fourier
Las series e integrales de Fourier constituyen un tema cl´sico del An´lisis Matem´tico. Desde
a
a
a
su aparici´n en el siglo XVIII en el estudio de las vibraciones de una cuerda, las series de
o
Fourier se han convertido en un instrumento indispensable en el an´lisis de ciertos fen´menos
a
o
peri´dicos de la F´
o
ısica y la Ingenier´La idea fundamental se basa en aproximar la funci´n,
ıa.
o
no por una serie de potencias (desarrollo de Taylor), sino por una serie de funciones peri´dicas
o
(senos y cosenos).
En lo que sigue consideraremos que las funciones con las que se trabaja son Riemann
integrables en el intervalo correspondiente (bastar´ por ejemplo, suponer que son continuas
ıa,
salvo en un n´mero finito depuntos donde presentan discontinuidades de salto).
u

1

1.1. FUNCIONES ORTOGONALES

2

1.1. Funciones ortogonales
Definici´n 1.1.1. El producto escalar de dos funciones f1 y f2 definidas en un intervalo
o
[a, b] es el n´mero
u
∫b
⟨ f1 , f 2 ⟩ =
f1 (x)f2 (x) dx
a

Entonces la norma que induce este producto escalar de una funci´n f definida en el
o
intervalo [a, b] es el n´mero
u
∫( b2
)1
∥f ∥ =
f (x) dx 2
a

Definici´n 1.1.2. Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en el intervalo [a, b] si
o
∫b
⟨ f1 , f 2 ⟩ =
f1 (x)f2 (x) dx = 0
a

Por ejemplo, las funciones f1 (x) = x y f2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [−1, 1]
puesto que
∫1
∫1
[ 1 ]1
23
⟨ f1 , f 2 ⟩ =
x x dx =
x5 dx = x6 −1 = 0
6
−1
−1
2

Definici´n 1.1.3. Se dice que un conjunto defunciones {ϕn }∞ es ortogonal en el intervalo
o
n=0
[a, b] si
∫b
⟨ϕ m , ϕ n ⟩ =
ϕm (x)ϕn (x) dx = 0,
m ̸= n
a

{ϕn }∞
n=0

Si
es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] con la propiedad
de que ∥ϕn ∥ = 1 para cualquier n, entonces se dice que {ϕn }∞ es un conjunto ortonormal
n=0
en el intervalo [a, b].

1.1. FUNCIONES ORTOGONALES

3

Ejemplo 1.1.4. El conjunto{ϕn (x) = cos(nx)}∞ es ortogonal en el intervalo [−π, π ]. En
n=0
efecto,
∫π
[1
]π
⟨ϕ0 , ϕn ⟩ =
1 cos(nx) dx =
sen(nx) −π = 0,
n ̸= 0
n
−π
Si m y n son ambos distintos de 0,
∫π
∫
)
1 π(
⟨ϕ m , ϕ n ⟩ =
cos(mx) cos(nx) dx =
cos((m + n)x) + cos((m − n)x) dx =
2 −π
−π
1 [ sen((m + n)x) sen((m − n)x) ]π
= 0,
m ̸= n
=
+
−π
2
m+n
m−n
En este ejemplo, si calculamos lasnormas de cada funci´n, obtenemos:
o
∫
(π
)1 √
∥ϕ0 ∥ =
dx 2 = 2π
−π

y para n > 0,
∫
(1 π
)1 √
∥ϕn ∥ =
cos (nx) dx =
[1 + cos(2nx)] dx 2 = π
2 −π
−π
1 cos(x) cos(2x)
De esta forma el conjunto { √ , √ , √
, . . . , } es ortonormal en [−π, π ].
π
π
2π
(

∫

π

2

)1
2

Nota 1.1.5. De manera an´loga puede probarse que el conjunto
a
1 cos(x) cos(2x)
sen(x) sen(2x)
{√, √ , √
,..., √ , √
,...,}
π
π
π
π
2π
es ortonormal en [−π, π ].

1.1. FUNCIONES ORTOGONALES

4

Es conocido que, dada una base ortogonal en un espacio vectorial de dimensi´n finita,
o
cualquier elemento de dicho espacio vectorial puede representarse como combinaci´n lineal
o
de los elementos de esa base. Nuestro objetivo es extender esta propiedad a un espacio de
dimensi´ninfinita.
o
Sea {ϕn }∞ un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] y sea f una funci´n
o
n=0
definida en ese intervalo. Los coeficientes cm , m = 0, 1, 2, . . . , para los que
f (x) = c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + · · · + cn ϕn (x) + . . .
se calculan multiplicando esta expresi´n por ϕm e integrando en el intervalo [a, b]
o
∫b
∫b
∫b
∫b
f (x)ϕm (x) dx = c0
ϕ0 (x)ϕm (x) dx+c1
ϕ1 (x)ϕm(x) dx+· · ·+cn
ϕn (x)ϕm (x) dx+. . .
a

a

a

a

Por ortogonalidad, cada t´rmino del lado derecho de la ultima ecuaci´n es cero, excepto
e
´
o
cuando n = m. En este caso, se tiene
∫b
∫b
∫b
f (x)ϕn (x) dx = cn
ϕn (x)ϕn (x) dx = cn
ϕ2 (x) dx
n
a

a

Por tanto,
f (x) =

a
∞
∑

cn ϕn (x)

n=0

donde los coeficientes cn vienen dados por
∫b
f (s)ϕn (s) ds
⟨f,...