Series de Laurent

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SERIES
El objetivo principal de esta temática del syllabus es el de representar funciones analíticas
mediante series. Para tal efecto se presentarán teoremas importantes que garantizan la
existencia de dichas representaciones, y ejemplos en el manejo de las series complejas.
CONVERGENCIA DE SUCESIONES:
Una sucesión infinita z1 , z2 , z3 ,.....zn .... de números complejos tiene límite zsi, para cada
número positivo  , existe un entero positivo n 0 tal que
zn  z  

siempre que

n > n0

Geométricamente significa que para valores de n suficientemente grandes, los puntos z n
caen en el interior de un entorno de z de radio  dado. El valor del índice n 0 en general
depende del  elegido. Como el  escogido es tan pequeño como se quiera, se tiene como
consecuencia quela distancia entre los puntos z n y z se hace arbitrariamente más pequeña
en la medida que el subíndice n se incrementa. En otras palabras, la mayoría de los
elementos de la sucesión tienden a concentrarse o a “apilarse” alrededor del valor límite z
(ver figura 1).
y
Il
us
tr
ac
ió
nz
7 1

z

z2
Il

Figura 1. Interpretación
Il us
El límite es único y cuando
se nota como:

ustr
ac
éste
ió
n
7



zn

Il
us
tr
x
Il
ac
us
ió
tr
densucesión convergente.
ac
Il
7
ió
us
n
tr
ac
se dice que7 la sucesión converge al
ió
n
7
lim z  z

Il
us
tr
ac
ió
geométrica
n
7

tr
ac
ió
existe
n
7

n 

valor límite z ; y

n

En caso que el límite no exista, la sucesión se dice divergente.
Teorema 1. Supóngase que zn  xn  i yn n 1, 2,3,..... y z  x  i y . Entonces lim zn  z
n 

si y sólo si

lim xn  x
n

y

lim yn  y
n 

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Demostración: ) Si los límites unidimensionales de la parte real e imaginaria de z n
existen, entonces por definición de límite de sucesiones reales se tiene que para cada   0
existen enteros positivos n1 y n2 tales que
xn  x 
yn  y 



siempre que n  n12



siempre que n  n2

2

Si n0  max n1 , n2  entonces xn  x 


2

yn  y 

y



siempre que n  n0

2

Ahora bien, como ( xn  i yn )  ( x  iy)  ( xn  x )  i( yn  y)  xn  x  yn  y   , n  n0
entonces zn  z   siempre que n  n0 y por tanto hemos probado que lim zn  z .
n 

En sentido inverso: ) Si lim zn  z entonces para cada   0 ,existe un entero positivo
n 

n0 tal que ( xn  iyn )  ( x  iy)  

siempre que n  n0 .

Ahora bien, partiendo de la distancia de las componentes real e imaginaria para n  n0 y
usando lo anterior se tiene que:

xn  x  ( xn  x)  i( yn  y)  ( xn  iyn )  ( x  iy)  
y

siempre que n  n0

yn  y  ( xn  x)  i( yn  y)  ( xn  iyn )  ( x  iy)  

siempre que n  n0lo que significa que lim xn  x
n

y

lim yn  y , obteniéndose lo que se quería probar.
n

Nota: El teorema anterior permite afirmar lim ( xn  iyn )  lim ( xn )  i lim ( yn ) siempre,
n

n

n

que los dos limites del lado derecho existan o el del lado izquierdo exista.
Ejemplo 1. La sucesión zn 

1
 i converge a i ya que
n3
y

1
1

lim  3  i   lim3  lim i  0  i  i
n  n
n 

 n n

Figura 2. Convergencia

i


Il

z1

z2

us
tr
Il Iac
Il
us lió
u
tr u
n
s
ac s14
t
ió t
r
n r
14 a
a
c
de lacsucesión
i
i
ó
ó
n
n
1
1
4
4

al

Il
us
tr
ac
ió
1
n
14
Il
punto
us
tr
ac
ió
n
14

x

i

Il
us
tr
ac
ió
n
14

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Ejemplo 2. Sea la sucesión compleja zn  2  i(1)n
n2

n  1, 2,3,.......

(1)n
 2  i(0)  2
n  n 2

Aplicando el teorema lim zn  lim(2)  i lim
n 

n 

El punto de convergencia es el complejo 2  i 0  (2,0)

Figura 3. Para   0.01 , los zn con n  n0  10 quedan dentro del círculo de radio  y
centro (2, 0) . Esto es z  (2)    0.01 siempre que n  n0  10 .

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CONVERGENCIA DE SERIES


Una...