Series matematicas

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como [pic]donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas dondei toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, [pic].
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si [pic]no existe o si tiende a infinito; converge si[pic]para algún [pic].

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ([pic] u oscilante). Para esto existen distintos criterios que,aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

[editar] Condición del resto

Artículo principal: Test de divergencia
Para que una serie [pic]seadivergente, una condición suficiente es que [pic].
Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

[editar] Criterio de D'Alembert o Criteriodel Cociente (Criterio de la razón)

Artículo principal: Criterio de d'Alembert
Sea una serie [pic], tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
[pic]
con [pic], el Criterio deD'Alembert establece que:
• si L < 1, la serie converge.
• si L > 1, entonces la serie diverge.
• si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso,es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

[editar] Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie [pic], tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos queexiste
[pic], siendo [pic]
Entonces, si:
• L < 1, la serie es convergente.
• L > 1 entonces la serie es divergente.
• L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurriral criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

[editar] Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la...