Analisis de las series matematicas

INTRODUCCION
En la antigüedad existió un pensador griego al que le gustaba poner a batallar a los demás pensadores, por medio de paradojas. Una paradoja es algo así como un mal argumento, pero muy bien hecho básicamente, una paradoja es un argumento que conduce a contradicciones. Zenón, el pensador que menciono, argumentó por medio de sus paradojas que la flecha lanzada por un arco no se mueve yque la liebre nunca alcanzará a la tortuga, si la tortuga arranca la carrera antes que la liebre.
El argumento va así. Supongamos que la flecha sale del punto A para llegar al B, y la distancia entre ellos es 1. Antes de llegar a B, la flecha tiene que pasar por el punto medio ½. Después tiene que pasar por la mitad de lo que falta, que es ½ + ¼ = ¾. Después tiene que pasar por la mitad quefalta, que es ¾ + 1/8 = 7/8. Y así sucesivamente, tiene que pasar los puntos 15/16, 31/32, 63/64,…, etc. Dice Zenón para concluir: “antes de llegar al final, la flecha tiene que pasar por una infinidad de puntos, y para poder recorrer esa infinidad de distancias, la flecha tiene que utilizar un tiempo infinito. Por lo tanto, la flecha nunca llega a B”.
  El argumento se invalida así mismo luego deque uno se da cuenta de que Zenón no mide el tiempo y la distancia con la misma vara: en el caso de la distancia se toma la molestia de ir dividiendo la distancia faltante en mitad, cuarto, octavo, etc., pero en el caso del tiempo, nada más dice, parodiándolo un poco: “como sumamos un montón de intervalos de tiempo (de hecho un número infinito), el tiempo que acumulamos tiene que ser infinito”. Esemismo argumento sería aplicable a la distancia (estamos sumando un número infinito de pequeñas distancias), pero ahí Zenón no dice que la suma sea infinita.
Para entender esta objeción, hay que observar que Zenón se sale en su argumento de la aritmética común y corriente, que nos permite sumar muchos números, pero no un número infinito. Básicamente la objeción sería: “maestro Zenón, dígame cómosuma usted ese montón de intervalos de tiempo, porque nada más dice que le da infinito pero no explica por qué”. En otras palabras, la objeción a Zenón es que usa el concepto de suma infinita sin definirlo. Es como pretender usar unas tijeras sin tenerlas en la mano.
El estresado ritmo de vida actual nos lleva a usar la tecnología, y a gran velocidad, parecería extraño parar y contemplar lasgrandes pequeñeces que nos rodean y descubrir que existe un origen matemático que las ordena y describe. La necesidad de contar existe desde la prehistoria, cuando se usaban marcas para registrar cada unidad.
Luego estas marcas se fueron agrupando; aparecieron los números romanos, el Número 0, los números negativos. Este desarrollo comenzó en India y Arabia y sólo en el siglo XII llegó a Occidente.Fue el italiano conocido como Fibonacci (Leonardo de Pisa 1170-1250) quien viajaba con su padre, que era comerciante, por el norte de África, el que introdujo los números arábigos en Occidente. Este apodo viene de Filius Bonacci y significa: hijo de Bonacci. Luego con el estudio dedicado de muchos matemáticos comienza el estudio de series y sucesiones.

Series.
"Sucesiones" y "series" puedenparecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1, 2, 3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1".Que son los cuatro primeros términos de nuestroejemplo {3, 5, 7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

Tipos de series
Serie geométrica:

Una serie geométrica es aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante). La fórmula de una serie geométrica siempre se puede escribir en la forma normal:

Serie armónica:

La serie armónica es la serie:
La serie armónica es...