Series Numericas
Páginas: 7 (1505 palabras)
Publicado: 18 de diciembre de 2012
Trabajo Práctico
de Matemáticas
Tema: Series Numéricas
Curso: 6to A
Alumno: Nicolás Melcon
Profesor: Horacio Pereyra
Fecha de entrega: 23/11/2012
Las series numericas son sucesiones muy particulares ya que se definen(o se generan) a partir de otra sucesion .
La idea de sucesion en IR es la de una lista de puntos de IR.
Son ejemplos de sucesiones:1,1,2,3,5,8,13……..
2,4,6,8,10……..
1,4,9,25,36…….
1,10.100,1.000,10.000
1,-1.1-1,1,…
Lo importante acerca de una sucesion es que a cada numero natural N le corresponde un punto de IR, por esto damos la siguiente definición.
Definición 1.1 Una sucesion es una funcion de N enIR.
Si a :N → IR es una sucesion de escribir A(1),A(2),A(3)……suele escribirse A1,A 2,A 3…
La sucesión de Fibonacci {an} esta definida por : a1 =a2 =1,an=an-1+an-2
Esta sucesion fue descubierta por Fibonacci (1175-1250. aprox.) en relacion con un problema de conejos. Fibonacci supuso que una pareja de conejos criaba a una nueva pareja cada mes y que después de dos meses cada nuevapareja se comportaba del mismo modo. El numero an de parejas nacidas en el n-ésimo mes an-1 + an-2, puesto que nace una pareja por cada pareja nacida en el mes anterior. Y además cada pareja nacida hace dos meses produce ahora una pareja nueva.
Los números de Fibonacci [pic] quedan definidos por las ecuaciones
[pic]
[pic]
[pic] para [pic]
Esto produce los números
▪ [pic]
▪[pic]
▪ [pic]
▪ [pic]
▪ [pic]
▪ [pic]
▪ [pic]
▪ [pic]
Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en matematica discreta.
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
Función generadora
Una función generadora para una sucesión cualquiera [pic] esla función [pic], es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
[pic]
Cuando esta función se expande en potencias de [pic], los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:
[pic]
Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente esdecir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia
[pic]
con las condiciones iniciales
[pic] y [pic]
El polinomiocaracterístico de esta relación de recurrencia es [pic], y sus raíces son
[pic]
De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma
[pic]
Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes [pic] y [pic] satisfacen la ecuación anterior cuando [pic] y [pic], es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones[pic]
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
[pic]
Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
(5)[pic]
Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo
[pic]
de manera que la ecuación (5) se reduce a(6)[pic]
Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional [pic]. De hecho, la relación con este número es estrecha.
Forma matricial...
de Matemáticas
Tema: Series Numéricas
Curso: 6to A
Alumno: Nicolás Melcon
Profesor: Horacio Pereyra
Fecha de entrega: 23/11/2012
Las series numericas son sucesiones muy particulares ya que se definen(o se generan) a partir de otra sucesion .
La idea de sucesion en IR es la de una lista de puntos de IR.
Son ejemplos de sucesiones:1,1,2,3,5,8,13……..
2,4,6,8,10……..
1,4,9,25,36…….
1,10.100,1.000,10.000
1,-1.1-1,1,…
Lo importante acerca de una sucesion es que a cada numero natural N le corresponde un punto de IR, por esto damos la siguiente definición.
Definición 1.1 Una sucesion es una funcion de N enIR.
Si a :N → IR es una sucesion de escribir A(1),A(2),A(3)……suele escribirse A1,A 2,A 3…
La sucesión de Fibonacci {an} esta definida por : a1 =a2 =1,an=an-1+an-2
Esta sucesion fue descubierta por Fibonacci (1175-1250. aprox.) en relacion con un problema de conejos. Fibonacci supuso que una pareja de conejos criaba a una nueva pareja cada mes y que después de dos meses cada nuevapareja se comportaba del mismo modo. El numero an de parejas nacidas en el n-ésimo mes an-1 + an-2, puesto que nace una pareja por cada pareja nacida en el mes anterior. Y además cada pareja nacida hace dos meses produce ahora una pareja nueva.
Los números de Fibonacci [pic] quedan definidos por las ecuaciones
[pic]
[pic]
[pic] para [pic]
Esto produce los números
▪ [pic]
▪[pic]
▪ [pic]
▪ [pic]
▪ [pic]
▪ [pic]
▪ [pic]
▪ [pic]
Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en matematica discreta.
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
Función generadora
Una función generadora para una sucesión cualquiera [pic] esla función [pic], es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
[pic]
Cuando esta función se expande en potencias de [pic], los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:
[pic]
Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente esdecir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia
[pic]
con las condiciones iniciales
[pic] y [pic]
El polinomiocaracterístico de esta relación de recurrencia es [pic], y sus raíces son
[pic]
De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma
[pic]
Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes [pic] y [pic] satisfacen la ecuación anterior cuando [pic] y [pic], es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones[pic]
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
[pic]
Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
(5)[pic]
Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo
[pic]
de manera que la ecuación (5) se reduce a(6)[pic]
Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional [pic]. De hecho, la relación con este número es estrecha.
Forma matricial...
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