Series y sucesiones

SERIES
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger sipara algún .

Clasificación:
Si R la serie es convergente.
Si o la serie es propiamente divergente.
Si la serie es impropiamente divergente.
Si oscila la serie es oscilante.

Sucesión infinita  
 
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.
En este trabajo, el intervalo de una sucesión infinita será un conjunto de números reales.Si una función f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n le corresponde un número real f(n).Estos números del intervalo de f pueden representarse al escribir:
 
f(1),f(2),f(3),...f(n),...

Para obtener la forma de subíndice de una sucesión, hacemos an=f(n) para todo entero positivo n. Si consideramos una sucesión como una función f, entonces podemos considerar su graficaen un plano xy. Como el dominio de f, es el conjunto de enteros positivos, los únicos puntos de la grafica son
 
(1,a1),(2,a2),(3,a3),...,(n,an),...,
 
Donde an es el n-ésimo término de la sucesión.
De acuerdo con la definición de funciones, vemos que una sucesión  a1,a2,a3,...,an es igual a una sucesión  b1,b2,b3,...,bnsi y solo si ak=bk para todo entero positivo k.
 
Otra notaciónpara una sucesión con n-ésimo termino an es {an}; por ejemplo, la sucesión {2n} tiene como n-ésimo termino an= 2n  Con la notación de sucesiones, lo escribimos de esta manera: 21,23,23,...,2n,...
Por definición, la sucesión {2n} es la función f con f(n)=2n Para todo entero positivo n.
A veces tendremos que hallar la suma de muchos términos de una sucesión infinita. Para mayor facilidad al expresartal suma contamos con la notación de sumatoria. Dada una sucesión infinita

 a1,a2,a3,...,an  el símbolo 
 

La letra griega mayúscula sigma Σ, indica una suma, y el símbolo ak representa el k-ésimo termino. La letra k  es el índice de sumatoria, o variable de sumatoria, y los números 1 y m dan los valores mínimo y máximo de variable de sumatoria respectivamente.
Propiedades de lassucesiones Infinitas:
Si ðan = A , ðbn = B y c es un número real, las siguientes series convergen las sumas que se indican.
1. ðoon=1 can = cA 2. . ðoon=1 (an + bn) = A + B
3. ðoon=1 (an + bn)= A -B
Si se suprimen los N términos de una serie ,ello no destruye su convergencia ( o divergencia)
Definición del Límite de una Sucesión:
Se define de la siguiente manera; Si para ð > 0 existe M >0tal que [an - L] < ð siempre que n > M ,entonces decimos que el límite de la sucesión {an} es L y escribimos :
Limn-ðð an= L
Las sucesiones que tienen límite (finito) se llaman covergentes y las demás divergentes.
Límite de una Sucesión:
Sea f función de una variable real tal que :
Límx-oo f (x) = L
Si {an}es una sucesión tal que f (n) = an para todo entero positivo n, entonces :Límn-oo an = L

Propiedades de los Límites de las sucesiones:
Si: Límn-oo an= L y Límn-oo bn = K
Las siguientes propiedades son válidas:
1) Límn-oo(an+- bn) = L +- K 2) Lím n-oo can = cL, c es cualquier número real.
3) Límn-oo (an bn) = LK 4) Límn-oo an/bn = L/K, solo si bn es diferente de 0
Sucesiones Monótonas:
Una sucesión es monótona si sus términos son no decrecientes:
1, 2, 3, 4, 5, 6,........
o si sus términos son no crecientes:
1, 4, 3, 8, 5, ...........
Determinando si una sucesión es monótona, se toman las siguientes sucesiones como ejemplos:
 {an}= {3+(-1)n} Esta sucesión alterna entre 2, y 4 por lo tanto no es monótona. Y
 {bn}= {2n/(1 + n) Monótona , por que cada término es mayor que su predecesor.

Serie geométrica es una serie en la cual cada término se...