Series y sucesones
Páginas: 101 (25185 palabras)
Publicado: 9 de marzo de 2010
Sucesiones y series
Josep Bernat Pané
P01/75005/00104
© FUOC • P01/75005/00104
Sucesiones y series
´ Indice
´ Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1. Sucesiones denumeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1. Concepto general de sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sucesiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.3. Sucesiones monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´2. L´mite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı ´ 2.1. L´mite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı ´ 2.2. Propiedades del l´mite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 2.3. Aritm´ tica de los l´mites finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . e ı 2.4. Sucesiones con l´mite infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 2.5. Aritm´ tica de los l´mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ı ´ 2.6. ¿Como solucionar las indeterminaciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. M´ todo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6.2. Caso 00 y ∞0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Caso 1
∞
5 7 9 9 11 13 16 17 20 22 23 24 26 26 27 27 29 29 31 33 33 35 36 38 39 39 39
.................................................
2.6.4. Criterio de Stolz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2.6.5. Desarrollo en polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3. Series de numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Concepto de serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Series geom´ tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . e ´ 3.2.1. La sucesion an debe tender a cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.3. La serie armonica generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Propiedades generales de las series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Series de t´ rminos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . e 4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2. Criterios de comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sucesiones y series
4.2.1. Criterio de Pringsheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4.2.2. Criterio que proviene de la serie geom´ trica . . . . . . . . . . . . e 4.2.3. Criterio de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2.4. Estimacion del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5.1. Concepto de serie alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Concepto de serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Propiedades de las series de potencias . . . . . . . . . . . . . . ....
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´ Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1. Sucesiones denumeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1. Concepto general de sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sucesiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.3. Sucesiones monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´2. L´mite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı ´ 2.1. L´mite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı ´ 2.2. Propiedades del l´mite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 2.3. Aritm´ tica de los l´mites finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . e ı 2.4. Sucesiones con l´mite infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 2.5. Aritm´ tica de los l´mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ı ´ 2.6. ¿Como solucionar las indeterminaciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. M´ todo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6.2. Caso 00 y ∞0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Caso 1
∞
5 7 9 9 11 13 16 17 20 22 23 24 26 26 27 27 29 29 31 33 33 35 36 38 39 39 39
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2.6.4. Criterio de Stolz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2.6.5. Desarrollo en polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3. Series de numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Concepto de serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Series geom´ tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . e ´ 3.2.1. La sucesion an debe tender a cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.3. La serie armonica generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Propiedades generales de las series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Series de t´ rminos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . e 4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2. Criterios de comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sucesiones y series
4.2.1. Criterio de Pringsheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4.2.2. Criterio que proviene de la serie geom´ trica . . . . . . . . . . . . e 4.2.3. Criterio de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2.4. Estimacion del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5.1. Concepto de serie alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Concepto de serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Propiedades de las series de potencias . . . . . . . . . . . . . . ....
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