Series

Anexo C

Introducci´n a las series de potencias o
Este ap´ndice tiene como objetivo repasar los conceptos relativos a las series de potencias e y al desarrollo de una funci´n ne serie de potencias en torno a un punto. o

C.1.

Series de potencias

Una serie de potencias en torno al punto x0 es una expresi´n de la forma o
∞

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · ·n=0

(C.1)

donde x es una variable y los coeficientes an son constantes. Se dice que (C.1) converge en ∞ el punto x = r si la serie infinita (de n´meros reales) u an (r − x0 )n converge; esto es, el n=0 l´ ımite de las sumas parciales,
N N →∞

l´ ım

an (r − x0 )n ,
n=0

existe (como n´mero finito). Si este l´ u ımite no existe, se dice que la serie de potencias diverge en x = r. Obs´rveseque (C.1) converge en x = x0 ya que e
∞

an (x0 − x0 )n = a0 + 0 + 0 + · · ·
n=0

Pero, ¿qu´ se puede decir acerca de la convergencia para otros valores de x?. Como se e establece en el Teorema C.1 de m´s abajo, una serie de potencias de la forma (C.1) converge a 217

218

Introducci´n a las Series de Potencias o

para todo el valor de x perteneciente a cierto “intervalo” con centroen x0 , y diverge para los valores de x que est´n fuera de este intervalo. Adem´s, en los puntos interiores de dicho e a intervalo, se dice que la serie de potencias converge absolutamente si
∞

|an (x − x0 )n |

converge. (Recu´rdese que la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia e (ordinaria) de la serie.) Teorema C.1 (Radio de convergencia).- Para cada serie de potenciasde la forma (C.1), existe un n´mero ρ (0 ≤ ρ ≤ ∞), llamado radio de convergencia de la serie de potencias, u tal que (C.1) converge absolutamente para |x − x0 | < ρ y diverge para |x − x0 | > ρ. (V´ase e la figura C.1.) Si la serie (C.1) converge para todo valor real de x, entonces ρ = ∞. Si la serie (C.1) converge solamente en x0 , entonces ρ = 0.

n=0

Divergencia

?

Convergenciaabsoluta x0

? Divergencia x 0+ρ

x 0+ρ

Figura C.1: Intervalo de convergencia Obs´rvese que el Teorema C.1 resuelve la cuesti´n de la convergencia de las series de e o potencias en todos los puntos de la recta real excepto en los extremos x0 = ±ρ del intervalo de convergencia. Estos dos puntos requieren un an´lisis independiente. Para determinar el a radio de convergencia ρ, un m´todo que amenudo resulta f´cil de aplicar es el criterio del e a cociente. Teorema C.2 (Criterio del cociente).- Si
n→∞

l´ ım

an+1 = L, an
∞ n=0

donde 0 ≤ L ≤ ∞, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias 1 es ρ = , con ρ = ∞ si L = 0 y ρ = 0 si L = ∞. L

an (x−x)n

Observaci´n Se debe observar que si el l´ o ımite del cociente |an+1 /an | no existe, entonces se deben emplear otrosm´todos distintos del criterio del cociente para determinar ρ. Por e ejemplo, el criterio de la ra´ ız:

C.1 Series de potencias Teorema C.3 (Criterio de la ra´z).- Si ı
n→∞

219

l´ ım

n

|an | = L,
∞ n=0

donde 0 ≤ L ≤ ∞, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias 1 es ρ = , con ρ = ∞ si L = 0 y ρ = 0 si L = ∞. L Ejemplo C.4 Determ´ ınese el intervalo de laconvergencia de (−2)n (x − 3)n . n+1 n=0 Soluci´n.- Puesto que an = o (−2)n , se tiene n+1 an+1 an =
n→∞ ∞

an (x − x)n

(C.2)

n→∞

l´ ım

l´ ım

(−2)n+1 (n + 1) (−2)n (n + 2)

=

n→∞

l´ ım

2(n + 1) = 2 = L. (n + 2)

1 Por el criterio del cociente, el radio de convergencia es ρ = . Por lo tanto, la serie (C.2) con2 1 1 verge absolutamente para |x − 3| < , y diverge cuando |x −3| > . S´lo queda determinar o 2 2 5 7 lo que sucede cuando |x − 3| = 1/2. Esto es, cuando x = ´ x = . o 2 2
∞ 5 1 , la serie (C.2) se convierte en la serie arm´nica o , la cual es 2 n=0 n + 1 ∞ (−1)n 7 divergente. Si x = , la serie (C.2) se convierte en la serie arm´nica alternada o , 2 n=0 n + 1 la cual es convergente. As´ que la serie de potencias converge para todo x en el intervalo ı 5 7...