Series

4.1 Definición de Series

En matemáticas , una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i=1,2,3....
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende ainfinito; puede converger si  para algún.
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términossucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción sueleexpresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.
Hay también distintos tipos de series.Ejemplo:

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, con r = 1/2):

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |r| < 1, a:
La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.
Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:
, con  = .

4.1.1 Finita
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial,que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución deecuaciones diferenciales.

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teoremaexpresarse por la fórmula de Taylor puede

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder  con su derivada , es decir, 
Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino quepuede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

4.1.2 Serie Infinita

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor deabsolutamente todos los números naturales, es decir, 

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.
Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles:...