Series

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMO TEMAPACHE

MATERIA:
CALCULO INTEGRAL


UNIDAD 4 “SERIES”
4.1 DEFINICIÓ DE SERIES
Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas. Podemos definirlas como la suma de términos finitos o infinitos, lo cual tiene una gran importancia. Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como elúltimo término, una serie infinita continúa sin interrupción.
Ejemplo:
{1, 3, 6, 8} serie finita. {2, 4, 6 8…} serie infinita.
4.1.1 SERIES FINITAS
En este caso de la serie infinita contiene un número infinito de términos, una serie finita es una serie que contiene un número finito de términos es decir, contiene predefinido el primer y el último término.
Un ejemplo deserie finita podría ser de la forma:

Aquí ‘i’ es el índice de la suma y toma los valores desde “1” (el límite inferior) hasta “n” (límite superior). A “i” denota el término general. Ejemplo:
Si “n” = 5, “a” = (2) a, y “i”= 1 Entonces el resultado seria:
2(1)+2(2)+2(3)+2(4)+2(5)= 2+4+6+8+10= 30
Dos tipos posibles de series finitas:
Series Aritméticas: esta serie contiene un númerofinito de términos que difieren en una cantidad constante, es simplemente la suma de la sucesión aritmética. Ejemplo {3, 6, 9, 12…}.
Series Geométricas: en este caso el cociente de 2 términos consecutivos es siempre una constante, entonces las series geométricas son la suma de las sucesiones geométricas. Un ejemplo {2, 4, 8…}.
Una serie puede converger en ciertos valores y en caso que noconverja entonces se dice quela serie es divergente.
Propiedades de las series finitas:
1). La suma o resta de dos series finitas es equivalente a la suma de las series por separado.

2). Una constante si es común a todos los términos de la serie puede ser excluida de la suma de los términos de la serie.

Teoremas importantes de las series finitas:
La suma de n términos de la serie es iguala n (n + 1) / 2.
Este teorema se puede comprobar de la siguiente manera:
Sea la suma de la serie se representada como S. Escribiendo S, una vez a la inversa y una vez de forma regular, entonces:
S = 1 + 2 + 3+ 4…+ n
S = n + (n - 1) + (n - 2)…. + 1
Ahora, sumando estas dos ecuaciones obtenemos,
2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)…. + (n + 1)
Como S contiene n términos, por lo tanto, 2Stambién debe contener n términos.
Por tanto, 2S = n (n + 1)
Ahora, dividiendo cada lado por 2, obtenemos
S = n (n + 1) / 2, lo cual demuestra el teorema.
Ejemplo: serie a resolver de la forma 2 i2 + 7i
Se resuelve:
2 i2 + 7i i= 10
= 2 i2 + 7 i = 2 [10 (10 + 1) (2 (10) + 1) / 6] + 7 i
= 2 (2310 / 6) + 7 i = 770 + 7 i
= 770 + 7 (2 (10 + 1)) / 2 = 770 + 7 (22/ 2)
= 770 + 77 = 847
Por lo tanto, el valor de la serie 2 i2 + 7i viene a ser 847
4.1.2 SERIES INFINITAS
La Serie puede ser considerada como un nombre alternativo de la suma. Entonces una serie infinita es una suma que contiene infinitos términos, es decir, la serie infinita es una serie en la cual todos los términos se suman en una serie infinita.
a1 + a2 + a3 +… + an +…
Ejemplo:SI “A”=2 el resultado será:
2(1)+2(2)+2(3)+….infinito= 2+4+6+…=infinito
En ocasiones estas serie pueden dar un resultado de origen finito independientemente del hecho que se hayan sumado términos infinitos, conocida como serie infinita convergente, de serlo contrario entonces será divergente.
Pruebas para determinar si una serie es convergente o divergente:
1) Prueba del EnésimoTérmino: Sencillamente dice que si el enésimo término de la serie no converge en 0, entonces se dice que la serie es divergente.
2) P-series: Las series o la suma de la forma se dice que es convergente en el caso que p> 1 y se dice que es divergente cuando p 1.
3) Prueba de la Razón: si el límite es igual a 1, se dice entonces quela prueba de la raíz e inconclusa.
4) Prueba de la Raíz: Esta...