series


Introducción.
En la IV unidad podremos aprender sobre la sucesión y series del cálculo integral sus diferentes aplicaciones de función respectivamente.
Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.
Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamientode la serie infinita entera.
se nos podrán presentar las series finitas que estas se han estudiado hasta el momento han consistido solo de los términos constantes, ahora se trata un tipo importante de series de variables denominadas series de potencias. En las secciones restantes de esta unidad se estudiara como pueden emplearse las series de potencias para calcular valores de funciones.
Lointeresante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera.
Una parte importante del estudio de cálculo trata sobre la representación de funciones, como “suma finitas”. Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de un conjunto finito denúmeros a la adición de una infinidad de números. Para llevar acabo esto se estudiara un proceso de límite en el que se consideran sucesiones.
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias.






Unidad IV. SERIES.
CONCEPTOS.
Serie.
Una serie es la suma de lostérminos de una sucesión. Se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia.
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos".
Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
En algunos casos, es beneficioso convertir un número ouna función en forma de series infinitas lo cual a su vez puede ayudar en su cálculo. Incluso puede lograr que el cálculo complejo sea más fácil.
Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes propiedades:
1) Si el término parcial de la sucesión de la serie converge, entonces se dice que toda la serie es convergente. Por otro lado, si el términoparcial de lasucesión diverge, la serie también diverge.
2) En caso que el resto de alguna parte de la serie converja, entonces toda la serie converge y viceversa.


Finita:
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se empleancantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones.
Suponga que asociada a la sucesión

Se tiene una “suma infinita” denotada por
Teorema
Para tener una idea intuitiva del concepto de tal suma, suponga que un trozo de cuerda de 2pie de longitud se corta a la mitad. Una de estas mitades de 1 pie de longitud se aparta y el otro y el otro se corta a la mitad otra vez. Uno de los trozos resultantes de ½ pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad obteniéndose dos trozos, cada uno de 1/8 pie de longitud, otra vez, uno de los trozos se aparta y el otro se corta a la mitad. Si se continúa este procedimiento en formaindefinida, el número de pies de la suma de las longitudes de los trozos apartados puede considerarse como la suma infinita

Como se inició con un trozo de cuerda de 2 pie de longitud, nuestra intuición nos indica que la suma infinita (1) debe ser 2. Definiciones preliminares.
A partir de la sucesión

Se forma una nueva sucesión (Sn) sumando sucesivamente elementos de (Un):


L a...