Simpson 1/3

REGLA DE TRAPECIO Y SIMPSON 1/3

PROBLEMA

1.- Las áreas de la sección transversal de los ríos (A) se necesitan en varias tareas en la ingeniería hidráulica, como pronósticos de inundación y diseño de presas. A menos que se disponga de dispositivos electrónicos de sonido para obtener perfiles continuos del fondo del rio, el ingeniero debe basarse en mediciones discretas de la profundidad paracalcular A. Un ejemplo se muestra en la siguiente figura. Los puntos representan posiciones donde se anclo un bote y se tomaron lecturas de diferentes profundidades. Use dos aplicaciones de la regla del trapecio extendida (h=4 y 2m) y de la regla de Simpson 1/3 extendida para estimar el área de la sección transversal a partir de esos datos.

PLANTEAMIENTO DE SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

Primero serealizara la tabla correspondiente al problema con los datos dados, la distancia desde la orilla izquierda será (x) y la profundidad será (y).

En este caso tenemos que calcular el área transversal de un rio con los métodos de integración trapecio extendido y Simpson 1/3 extendido.

Se calculara analíticamente y con un programa, se hará el cálculo 2 veces por cada método de integración uno conel tamaño de paso (h) igual a 4 y el otro con el tamaño de paso (h) igual a 2.

Para realizar esto se ocuparan las siguientes formulas:

1. Regla del trapecio extendido.

TN=h2 y0 + yN+ 2yi

2. Regla de Simpson 1/3 extendido.

S1/3=h3y0+ yN+4 i=0N-1Ordenadas conindice impar+2 i=0N-1Ordenadas conindice par

SOLUCIÓN ANALÍTICA

Distancia de la orilla izquierda (X) |Profundidad(Y) |
X0 = 0 | Y0 = 0 |
X1 = 2 | Y1 = 1.8 |
X2 = 4 | Y2 = 2 |
X3 = 6 | Y3 = 4 |
X4 = 8 | Y4 = 4 |
X5 = 10 | Y5 = 6 |
X6 = 12 | Y6 = 4 |
X7 = 14 | Y7 = 3.6 |
X8 = 16 | Y8 = 3.4 |
X9 = 18 | Y9 = 2.8 |
X10 = 20 | Y10 = 0 |

Primero se calculara por el método de trapecio extendido.

a)

h=4
N=10

TN=h2 y0 + yN+ 2yi

Sustituyendo en la fórmula:

= 420+0+2 ( 1.8+2+4+4+6+4+3.6+3.4+2.8)

= 422 ( 31.6 )

= 42 ( 63.2 )

=252.82

=126.4 Metros

b)

h=2
N=10

TN=h2 y0 + yN+ 2yi

Sustituyendo en la fórmula:

= 22 0+0+2 ( 1.8+2+4+4+6+4+3.6+3.4+2.8)

= 222 ( 31.6 )

= 22 ( 63.2 )

=126.42

=63.2 Metros

Ahora se calculara por el método de Simpson 1/3 extendido.

a)

h=4
N=10

S1/3=h3y0+ yN+4 i=0N-1Ordenadasconindice impar+2 i=0N-1Ordenadas conindice par

Sustituyendo en la fórmula:

= 43 0+0+4 1.8+4+6+3.6+2.8+2 ( 2+4+4+3.4)

= 43 4 18.2 +2 (13.4 )

= 43 ( 72.8+26.8 )

=43 99.6

= 398.43

=132.8 Metros
b)

h=2
N=10

S1/3=h3y0+ yN+4 i=0N-1Ordenadas conindice impar+2 i=0N-1Ordenadas conindice par

Sustituyendo en la fórmula:

= 23 0+0+4 1.8+4+6+3.6+2.8+2 ( 2+4+4+3.4)

= 23 418.2 +2 (13.4 )

= 23 ( 72.8+26.8 )

=23 99.6

= 199.23

=66.4 Metros

PSEUDOCÓDIGO DEL PROBLEMA.

a) Pseudocódigo del trapecio extendido:

Function p= Trapecio (f,a,b,n)
% Datos
% f =el nombre de la función como string
% x0 =límite inferior
% x10 =límite superior
% h =longitud del segmento
% x =es el vector x
% y =es el vector f(x), f en forma vectorial
% n =número desegmentos, o n+1 puntos
% Resultados
% p =integración
h=(b-a)/n;
x=a+h*(0:n);
y=feval(f,x);
p=0.5*h*(2*sum(y)-y(1)-y(n+1));

b) Pseudocódigo de Simpson 1/3 extendido:

Function p=Simpson (f,a,b,n)
% Simpson a 1/3
% % Datos
% f = el nombre de la función (vectorial) como string
% x0 =límite inferior
% x10 =límite superior
% h = longitud del segmento
% x = es el vector x
% y = es elvector f(x)
% n = número de segmentos
% Resultados
% p = integración
h= (b-a)/n;
x=a+h*(0:n);
y=feval(f,x);
p=h*(2*sum(y)+2*sum(y(2:2:n))-y(1)-y(n+1))/3;

DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROBLEMA.

Definición del Problema.
Definición del Problema.

Recopilación de Datos.
Recopilación de Datos.

Solución Analítica.
Solución Analítica.

Pseudocódigo
Pseudocódigo

Diagrama de Flujo....