Simpson 1 / 3 simple

REGLA DE SIMPSON 1/3 SIMPLE
Otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos. Por ejemplo si hay otro punto a lamitad entre f(a) y f(b) los tres puntos se pueden unir por una parábola , como lo muestra la figura para el cual este método es muy útil.
DEDUCCION DE LA FORMULA

Igualando las funciones tenemos que:I≅abf(x)dx≅x₀x₂f₂(x)dx
Lo que necesitamos es encontrar una función que pase a través de varios puntos dados para lo cual utilizaremos el método de interpolación de LAGRANGE el cual ya conocemos.P₂(x)=L₀(x)f(x₀)+L₁(x) f(x₁)+L₂(x)f(x₂)

La formula general del polinomio Lix es:
Lix=j=0j≉0nx-xjxi-xj
i=0 j=1,2
L₀(x)=x-x₁x₀-x₁x-x₂x₀-x₂ f(x₀)
i=1 j=0,2L₀(x)=x-x₀x₁-x₀x-x₂x₁-x₂ f(x₁)
i=2 j=1,0
L₀(x)=x-x₀x₂-x₀x-x₁x₂-x₁ f(x₂)
I≅x₀x₂[x-x₁x₀-x₁x-x₂x₀-x₂ fx₀+x-x₀x₁-x₀x-x₂x₁-x₂fx₁+x-x₀x₂-x₀x-x₁x₂-x₁ f(x₂)
Integrando queda:
I≅abf₂xdx ≅h3 [fx₀+4fx₁+fx₂
h=b-an ; n=2
Donde:
h=Incremento de integracion

EJEMPLO:
Emplear el método de Simpson 1/3 simple para aproximar la siguienteintegral
-24x3+8dx≅
h=4-(-2)2=3.0
x0=a=-2.0f(x₀)=0.0
x1=x0+h=-2+3=1.0 f(x₁)=9.0
x0=x0+2h=-2+23=4.0 fx2=72.0



Sustituyendo en la formula
abf(x)dx≅h3fx0+4f(x₁)+f(x₂)-24(x3+8)dx≅330+4(9.0)+(72.0)=108
"COMO EL DESARROLLO DE LA INTEGRAL ES EXTENSO SE COMPROBARA LA FORMULA POR EL METODO DE INTERPOLACION DE NEWTON “

X | Y | Primeras | Segundas |
-2 | 0 | f(x₀,x₁)=9-01-(-2)=3.0 |f(x₀,x₁,x₂)=21-34-(-2)=3.0 |
1 | 9 | | |
| | f(x₁,x₂)=72-94-1=21.0 | |
4 | 72 | | |

]P₂(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)
P₂(x)=0+3(x-(-2))+3(x+2)(x-1)...