Simulación de flujo de hagen-poiseuille mendiante redes de boltzmann

´ SIMULACION DEL FLUJO DE POISEUILLE MEDIANTE REDES DE BOLTZMANN J. M. Real Berm´dez, G. Gonz´lez Santos u a Departamento de Matem´ticas de la Escuela Superior de F´ a ısica y Matem´ticas a Instituto Polit´cnico Nacional, U.P. “Adolfo L´pez Mateos” C.P. 07738, M´xico D.F. e o e

RESUMEN
Una alternativa reciente y prometedora para el estudio num´rico de flujo de fluidos es e emplear la ecuaci´nde transporte de Boltzmann, discretizada en el espacio de la velocidad o y donde el operador colisi´n es una perturbaci´n del estado de equilibrio (modelo BGK). o o La discretizaci´n del modelo BGK emplea el esquema D2Q9 y se ocupa una variante de o la t´cnica rebote para las condiciones de frontera. e Se presentan los resultados obtenidos de la simulaci´n del flujo de Hagen-Poiseuille eno tre dosplacas paralelas para diferentes valores del n´ mero de Reynolds y cocientes L/H u (Largo/Separaci´n) de las placas. o

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´ INTRODUCCION

El modelo BGK representa un mejora respecto a sus predecesores; las redes de gases. Evita el proceso de promediaci´n para obtener comportamientos volum´tricos del flujo y o e elimina las fluctuaciones presentes en un sistema de muchas part´ ıculas. Adem´s eneste a modelo, la distribuci´n de equilibrio satisface las propiedades de isotrop´ e invarianza o ıa Galileana, y la presi´n resulta independiente de la velocidad. o Este trabajo est´ dedicado al estudio num´rico del flujo laminar y estacionario de Hagena e Poiseuille (H-P) entre dos placas paralelas fijas donde el flujo se produce por una diferencia de presi´n entre la entrada y salida. Para estose emple´ el modelo BGK o o y la discretizaci´n D2Q9, los resultados obtenidos fueron comparados con los conseguio dos por el modelo de Navier-Stokes en el estado estacionario.

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´ DESCRIPCION DEL PROBLEMA

El problema consiste en determinar el comportamiento del flujo de un fluido Newtoniano, comprendido entre dos placas paralelas cuando el flujo se produce por una diferencia de presi´n entrela entrada y salida de la regi´n. Una representaci´n bidimensional de la geo o o a ometr´ del problema se muestra en la figura 1. Las placas est´n separadas una distancia ıa H, la longitud de las placas se denota por L y la diferencia de presi´n entre la frontera o de entrada Γ1 y salida Γ3 se denota por ∆p. Denotemos por u = u(u(x, y), v(x, y))

y p = p(x, y) el campo de velocidades y lapresi´n del fluido respectivamente. Las o condiciones de frontera son las siguientes: Γ1 :p = P0 , Γ2 :u = 0, Γ3 :p = P0 + ∆p.
G2

(1)

G1
y

W

H

Umax

G3

G2
X

L

Figure 1: Flujo de Poiseuille en placas paralelas separadas una distancia H y de longitud L. El Fluido
entra por la parte izquierda y sale por la parte derecha con un gradiente de presi´n constante o

2.1

ELMODELO DE NAVIER-STOKES (N-S)

El campo de velocidades y presi´n del flujo de H-P puede obtenerse a partir de las ecuao ciones de Navier-Stokes y la conservaci´n de masa. Sean u y p el campo de velocidades o y presi´n del fluido Newtoniano, respectivamente, con densidad constante ρ compreno dido entre las placas paralelas. El flujo en el estado estacionario con las condiciones de frontera mencionadas enla secci´n anterior est´ regido por la ecuaci´n diferencial: o a o νuyy + Px = 0, donde ν es la viscosidad cinem´tica. La ecuaci´n de continuidad se reduce a la relaci´n: a o o ux = 0, y la soluci´n para el flujo laminar completamente desarrollado queda: o u(y) = ∆p y(H − y), 2νL (2)

donde px fue sustitu´ por la diferencia ∆p/L. El perfil de velocidades del flujo es una ıdo par´bola que vale ceroen las paredes y alcanza su m´ximo en y = H/2: a a umax = H 2 ∆p . 8ν L

La velocidad media en el r´gimen laminar es: u = 1 umax . e ¯ 2

3

MODELO BGK EN DOS DIMENSIONES

El modelo BGK[3] consiste en la ecuaci´n cin´tica de Boltzmann donde el operador o e colisi´n es una aproximaci´n lineal del t´rmino de colisi´n alrededor del estado de equio o e o librio: ∂f 1 + u(x, t) · f = − (f...