Sirve Para Topo

TOPOLOG´IA
M´
as ejemplos, por favor
En esta secci´on veremos varias maneras de crear topolog´ıas relevantes. En primer
lugar, veamos como fabricar una topolog´ıa natural en un espacio m´etrico y as´ı las dos
definiciones de abierto que hemos dado (elemento de una topolog´ıa y ciertos subconjuntos
en espacios m´etricos) coincidir´an.
´ n: Dado un espacio m´etrico (X, d), se llama topolog´ıainducida por d o
Definicio
topolog´ıa m´etrica a la generada por la base formada por todas las bolas abiertas.
Observaci´on: Comprobar que las bolas abiertas forman realmente una base requiere
demostrar que si x ∈ B(x1 , ǫ1 ) ∩ B(x2 , ǫ2 ) existe B(x3 , ǫ3 ) tal que x ∈ B(x3 , ǫ3 ) ⊂
B(x1 , ǫ1 ) ∩ B(x2 , ǫ2 ).
En un dibujo es claro, pero demostrarlo
rigurosamente es un poco m´as dif´ıcil excepto
paralos que hayan hecho un ejercicio anterior.
S´olo hay que tomar
ε2
ε1
x3 = x
ε
3

ǫ3 = min ǫ1 − d(x, x1 ), ǫ2 − d(x, x2 ) .

x1

¿Por qu´e? N´otese que basta probar

x3

x2

B(x, ǫi − d(x, xi )) ⊂ B(xi , ǫi )
y esto se puede reducir a la desigualdad triangular.
De este modo podemos generalizar la topolog´ıa usual en IR de la secci´on anterior.
´ n: Se llama topolog´ıa usual en IRn a la inducida porla distancia usual.
Definicio
Ejemplo: El conjunto A1 = {(1/n, 0) ∈ IR2 : n ∈ ZZ+ } no es cerrado en la topolog´ıa
usual de IR2 pero A2 = A1 ∪ {(0, 0)} s´ı lo es.
Si A1 fuera cerrado, IR2 − A1 ser´ıa abierto, y esto no es cierto porque (0, 0) ∈ IR2 − A1
pero cualquier bola abierta, B, conteniendo al origen contiene tambi´en infinitos puntos de
A1 ; esto es B ⊂ IR2 − A1 . Esta situaci´on no se daen A2 porque (0, 0) ∈ IR2 − A2 . Es
claro que alrededor de cualquier otro de los puntos de IR2 − A1 cabe una bola abierta.
Podr´ıamos escribir una f´ormula para el posible radio de esta bola pero nos aburrir´ıamos.

En el ejemplo anterior aparece por primera vez uno de los grandes problemas notacionales de este curso: la notaci´on (a, b) significa simult´aneamente el intervalo {x ∈ IR :
a < x < b}y el punto (o vector) de IR2 con x = a, y = b. A pesar de este l´ıo, los puntos
y los intervalos son cosas tan diferentes que es dif´ıcil encontrar ejemplos sensatos que den
lugar a confusi´on.
23

TOPOLOG´IA
Ejemplo: La distancia usual en IR2 , d, y la distancia d′ definida por
d′ (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = |x1 − x2 | + |y1 − y2 |
inducen la misma topolog´ıa en IR2 : la topolog´ıa usual.
Parademostrarlo hay que ver que la topolog´ıa inducida por d es m´as y menos fina
que la generada por d′ y, seg´
un la proposici´on de la secci´on anterior, esto se reduce a ver
que, alrededor de cada punto, las bolas abiertas en (IR2 , d) se pueden meter dentro de las
bolas abiertas en (IR2 , d′ ) y viceversa. Como se tiene

bola abierta en (IR2 , d) =

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11111111111

bola abierta en (IR2 , d′ ) =

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111111111111

Basta decir que un c´ırculo se puede meter dentro de un cuadrado girado alrededor de...