Sistema De Ecuaciones Diferenciales Lineales

Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana (UNEFAB)
Núcleo Guárico




Sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.




Profesor: Bachiller:
MiguelSolorzano Michelle Álvarez


Junio del 2011.


ÍNDICE

Pág.
Introducción……………………………………………………………………. 3
Sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes……. 4-6
EcuaciónCaracterística…………………………………………………….......... 6
Ejercicios………………………………………………………………………… 8
Resolución de Sistema……………………………………………………… 9-13
Conclusión……………………………………………………………………… 14
Bibliografía……………………………………………………………………... 15
















INTRODUCCIÓN

La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos másimportantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales, que es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida o una o más variables. Como en la ecuación (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivadapuede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. La meta es de encontrar métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial.
La solución de una ecuación diferencial es un conjunto de funciones diferenciablesque satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. En este trabajo se desarrollara un punto en específico de las ecuaciones diferenciales, las cuales son ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.



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SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES.
Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con variasfunciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.
Sistemas lineales de coeficientes constantes
Unsistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es un sistema de la forma:

Donde representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

Como ejemplo podemos considerar el siguiente sistema homogéneo:

Los valores propios de la matriz son y por tanto la exponenciación de la matriz dalugar a funciones trigonométricas al tener parte imaginaria no nula, de hecho, la solución calculada a partir de la exponenciación resulta:


Resolución con coeficientes constantes
La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales se simplifica mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuación de primer orden la búsqueda de un factor integrantenos lleva en la mayoría de los casos a una ecuación en derivadas parciales. Si la ecuación es de
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orden superior, a no ser que sea una ecuación de Euler o similar, tendremos que proponer una solución que no viene dada, en general, por funciones elementales. En estos casos los métodos preferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias o series de Fourier. En...