Sistema de ecuaciones lineales

Problemas Ampliaci´n de Matem´ticas. o a Sistemas lineales 1.- Encontrar la factorizaci´n L U o  −5  1 3 2.- Dada la matriz de las siguientes matrices:    2 −1 1 0 3 0 3   3 1 6 . 1 6 −5 2 −1

10 7  7 5 A= 8 6



 8 6 , 10

hallar la factorizaci´n L U de A. Transformar la factorizaci´n anterior en la forma o o A = L D U , donde D es una matriz diagonal y U es triangularsuperior con unos en la diagonal principal. Encontrar la relaci´n entre las matrices L y U . ¿ Puede o asegurarse que la matriz A es definida positiva?. Hallar el determinante de A. Detalla el proceso de eliminaci´n con pivote parcial por filas sobre la matriz A. o 3.- ¿ Puede llevarse a cabo la eliminaci´n gaussiana sin intercambio de filas sobre la matriz o   1 2 6  4 8 −1 ?. −2 3 5 4.- Resolver elsistema Ax = b con 1 A = 2 0 por eliminaci´n gaussiana o a) sin pivote b) con pivote parcial Halla la factorizaci´n LU de A. o 5.- Resolver el sistema Ax = b con  4  −2 A= 8 4 por eliminaci´n gaussiana o a) sin pivote b) con pivote parcial  1 0 3  0 2, 3   4 b = 4 4

−2 10 −4 −5

8 −4 17 9

 4 −5  , 9 15

 0  3  b=  −1 −11 

Halla la factorizaci´n de Cholesky de A. o6.- Resuelve el sistema Ax = b, con 1 1 A= 2 4  1 −1 0 2 1 2 1 −1  1 1 , 1 2  −1  4  b= , 2 −3 

por eliminaci´n Gaussiana con pivote parcial. o 7.- Sean {1, −2, 3}, {1, −1} y {−1} los multiplicadores correspondientes a los lugares {(2, 1), (3, 1), (4, 1)}, {(3, 2), (4, 2)} y {(4, 3)}, respectivamente, de la eliminaci´n gauso siana para un sistema de orden 4, dando lugar al sistematriangular x1 + 2x2 − x3 +x4 = 1 2x2 + x3 + 3x4 = −2 x3 −x4 = 0 2x4 = 7. Halla el sistema original Ax = b. 8.- Sea la matriz 2  6 A= −2 4  4 11 −4 7 −2 −3 3 −3  6 18  . −4 11

a) Halla las factorizaciones LU y LDU de A. b) Resuelve Ax = b, con b = (0, 3, 1, 1)T , resolviendo para ello dos sistemas triangulares. Idem para b = (18, 55, −12, 34)T . 9.- Sea la matriz 1  −1 A= 0 0  −1 2 −1 00 −1 2 −1  0 0  . −1 2

a) Halla la factorizaci´n LU de A. o b) Resuelve Ax = b, con b = (1, 1, 1, 1)T , resolviendo para ello dos sistemas triangulares. Idem para b = (4, 7, −2, 3)T . 10.- Resolviendo un sistema lineal Ax = b con A sim´trica definida positiva por el m´todo e e de Cholesky se llega al final a la resoluci´n del sistema o x − y + 2z = 1 y + z = −1 2z = 2.

Halla el sistemaoriginal. 11.- Hallar los coeficientes de un polinomio de segundo grado p2 (x) de manera que p2 (1) = 1, p2 (2) = 2 y p2 (3) = 0. 12.- Estudiar que condici´n debe verificarse para que el m´todo de Gauss–Seidel, partiendo o e de x0 = 0, de la soluci´n exacta en la primera iteraci´n. o o 13.- Considerar el sistema lineal 1 2 3 −1 x y = 4 1 .

¿ Puede aplicarse Jacobi o Gauss–Seidel para resolver estesistema ?. Encontrar un sistema equivalente al que si se le pueda aplicar. 14.- Sea el sistema lineal Ax = b, con 4 A = 3 0  3 4 −1    0 7 −1  , b =  6  . 4 3

Hallar la matriz de Jacobi y de Gauss–Seidel para calcular el radio espectral, calculando las dos primeras iteraciones para cada m´todo tomando como vector inicial el e vector nulo. Encontrar la relaci´n entre los radiosespectrales de Jacobi y Gauss– o Seidel. 15.- Estudiar la convergencia de los m´todos iterativos de Jacobi y Gauss–Seidel cuando e se aplican a la resoluci´n del sistema lineal o  3  −1 2     1 1 x 4 1 3y  =  4 . 5 1 z −1

Estudiar la convergencia del sistema anterior cuando se intercambian la segunda y tercera ecuaci´n. o 16.- Demostrar que para el sistema ax + by = p cx + dy = q unacondici´n necesaria y suficiente de convergencia de los m´todos iterativos de Jacobi o e y de Gauss–Seidel es |bc| < |ad|. ¿En qu´ caso es m´s r´pida?. e a a 17.- Dada la matriz −2  0 A= b  1/2 2 1  a ab  . 3

a) Hallar la relaci´n entre a y b para que A sea regular. Probar que, si ab2 ∈ o (−24, 24), entonces el m´todo de Gauss–Seidel es convergente para A. e b) Tomando a = b = 1, y partiendo de...