Sistema De Ecuaciones Lineales

Sistema de ecuaciones lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones seríael siguiente:




El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente enprogramaciónlineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Sistemas lineales reales

En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son números reales.

Tipos de sistemas


Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número desoluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.

Quedando así laclasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano dedimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero


Algoritmo para determinar si un sistema es compatible
Podemos averiguar si un sistema es o no compatible mediante el Teorema de Rouché-Frobenius que establece que un sistema de ecuaciones lineales es compatible sólo si el rango de sumatriz ampliada coincide con el de su matriz de coeficientes. Supongamos que el sistema es compatible. Si el valor común de los rangos de las matrices coincide con el número de variables, el sistema es compatible determinado; en caso contrario, es compatible indeterminado.
Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito desoluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es  y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
En este tipo de sistemas, la solucióngenérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
La condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero al igual queel rango de la matriz ampliada y menor al número de incógnitas(y por tanto uno de susautovalores será 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Sistemas incompatibles
De un...