Sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto deecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones seríael siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programaciónlineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.
Sumar dosecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
15x - 9y = 1

-15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación 


La elección de los factores 3 y -5se ha hecho precisamente para que la  desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sutituyendo  por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es   .


Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

donde , , y  representan simplemente los miembrosde estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en  ni en , entonces la ecuación

no contendría dicha incognita.
Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos  .
Una vez que se obtiene lasolución de esta ecuación se sustituye  por su solución en otras ecuaciones dode aparezca  para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo
El sistema de ecuaciones

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en  del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.
Del segundo sistema sededuce que

que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es   .
Sustituyendo  por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es   .

Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Entonces podemos despejar  enla segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de partida.
Aqui      y      son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

Sustituyendo     por  en

se tiene que

que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es .
Sustituyendo  por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incognita

cuya solución es   .

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