Sistemas De Control

PROYECTO DE CONTROLADORES VIA LUGAR DE LAS RAICES
Al proyectar controladores algunos puntos a ser analizados son:
1. Estabilidad: Se debe analizar que controladores estabiliza el sistema en LC. Para verificar esto pueden ser usados el criterio de Routh-Hurtwitz o lugar de las raíces.
2. Error en régimen: si el sistema puede ser estabilizado por un controlador se debe verificar queparámetros deben ser escogidos para que las condiciones de error en régimen sean alcanzadas. El teorema del valor final es usado tanto para el caso continuo como para el discreto; el error en régimen es alcanzado aumentando la ganancia o adicionando polos en el origen (PI).
Algunas especificaciones de la respuesta transitoria al usar el lugar de las raíces son: Ts punto de establecimiento, overshoot OP,etc. El controlador PI es adicionado para alcanzar condiciones de error en régimen y reducir el tiempo de respuesta; sin embargo tiende a dejar el sistema menos estable.
El controlador PID es utilizado para reducir las oscilaciones del sistema dejando el mismo más estable. En algunos casos el controlador PID debe ser utilizado para alcanzar todas las especificaciones dadas.
Proyecto delcontrolador Proporcional-Integral
Caso 1: FT de primer orden + PI
Gps=1s+1
Gcs=Kp+KpTIs=KpTITIs+1s
Utilizando SISOTOOLS multiplicamos GP(s) por GC(s), SISOTOOLS cierra el lazo y encuentra el lugar de las raíces, los cuadraditos representan los valores de K en C.
Observaciones:
1. Colocando el cero de PI más próximo al origen el sistema es mas lento pero sin oscilación; mientras más próximo seencuentra el cero del polo la respuesta será más rápida y sin oscilación.
2. Colocando el cero del PI después del polo de -1 la respuesta es más rápida pero tiende a ser más oscilatoria porque hay sobrelevación para cualquier ganancia mayor a 1.
Conclusión:
Si el cero del PI en el origen del polo dominante garantiza una respuesta sin oscilación más rápida para el cero más próximo a este polo.Caso 2: FT de segundo orden + PI
Gps=1s2+3s+2
Observaciones:
Si el cero del PI esta próximo al origen, la respuesta es mas lenta; al aproximar o al aproximarse el cero al polo -1 la respuesta se torna mas rápida pero los dos polos complejos se aproximan al origen.
Colocando el cero del PI entre los polos -1 y -2 los dos polos complejos estarán mas próximos al eje imaginario.
Caso 3: FT detercer orden + PI
Gps=10s3+8s2+17s+10
Observaciones:

Caso 4: FT de primer orden mas atraso
Gps=0.30.3s+1e0.15s
Utilizar el método del lugar de las raíces para proyectar un controlador PI de modo que la respuesta tenga un overshoot menor al establecimiento OP<10% y Ts<5s.

realimentacion de estados y observadores de estados
Modelos en espacios de estados
Son de la forma:
x=Ax+Buy=Cx+Du
Donde A,B,C,D son matrices y x e y son vectores
Las dimensiones de las matrices son: Anxn, Bmxn, Cpxn, Dmxp donde:
x∈Rn, u∈Rm, y∈Rp
En otras palabras, este sistema tiene n estados m entradas y p salidas.
Además la relación de entrada/salida (ft) este modelo también nos brinda info de los estados.
Sea el sistema masa-resorte-amortiguador sea la sgte ft la q lo representa:
Mx+Bx+Kx=utxsu(s)= 1Ms2+Bs+K
Modelo en espacio de estados:
x= 01-K/M-B/Mx+01Mu
y= 10x
Aplicando Laplace
Lx=sXs-x0
LAx+Bu=AXs-BU(s)
sXs-x0=AXs-BU(s)
Despejamos x(s)
xs=sI-A-1BU(s)
Aplicando Laplace a la ec de salida
Ly(t)=CXs-DUs
Sustituyendo tenemos:
ysu(s)=Gs=CsI-A-1+D

Relación entre modelos de espacio de estados y ft
Una representación en e.e. no es siempre única para un sistema, estamatriz puede ser representada por una matriz canonica.
Los autovalores λ de una matriz cuadrada A y los autovalores asociados satisfacen la ec:
Ax=λx
Esta ec es solo verdadera si:
detA-λI=0
Cuando se hace esto, también se obtiene el polinomio característico de la matriz A.
Ejemplo:
Encontrar los autovalores de A:
A=01-6-5
detA-λI=-λ1-6-5-λ=λ2+5λ+6=(λ+2)(λ+3)
Los autovectores son:
para...