Sistemas De Control

INGENIERÍA INDUSTRIAL. SEGUNDO CURSO

TEORÍA DE CIRCUITOS Y SISTEMAS

PROBLEMAS DE SISTEMAS

PARTE 3:
• ESTABILIDAD DE SISTEMAS CONTINUOS • RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS CONTINUOS • ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS

PROBLEMA 1 Calcular la función de transferencia G1(s) y G2(s), siendo: (a) Respuesta del sistema G1(s) ante una entrada de escalón con una amplitud 0.5 (b) Respuesta delsistema G2(s) ante entrada impulso
1.5 7 6

5 1 Amplitude Amplitude

4 3

0.5 2

1

0

0 0 1/3 0.5 1 Time (sec.) 1.5 2

0

1 1.21

2

3 Time (sec.)

4

5

6

(a)

(b)

SOLUCIÓN (a) Es un sistema de primer orden típico. Si la entrada hubiera sido un escalón unitario el sistema sería:

G (s) =

4.5 s+3

Pero como la entrada es un escalón de amplitud 0.5, elsistema que se tiene es:

G (s) =

9 s+3

(b). La respuesta es la típica de un sistema G’(s) de segundo orden ante entrada en escalón. Podemos calcular esta G’(s) a partir de los datos siguientes: - Tiempo de subida tr=1.21 - Máximo valor de la señal de salida yp=7 - Valor en el infinito y=6 A partir de estos datos se obtiene para el sistema G’(s)

G ' ( s) =

24 s + 2s + 4
2

Puesto quela entrada realmente ha sido un impulso unitario y no un escalón, la función de transferencia del sistema es: G2 ( s ) = 24 s + 2s 2 + 4s
3

PROBLEMA 2

θ(t)

Un motor eléctrico de corriente continua se acopla, mediante una polea, a un ascensor. Se supondrá que la caja del ascensor y el contrapeso se encuentran equilibrados, de modo que no se considerarán sus pesos en las ecuaciones.
Lasvariables del sistema serán: • • • • • • • h(t): θ(t): ω(t): p(t): v(t): i(t): fcem(t): altura de la caja del ascensor ángulo girado por el motor velocidad de giro del motor par proporcionado por el motor tensión aplicada al motor intensidad que circula por el devanado del motor fuerza contraelectromotriz inducida en el devanado h(t)

ascensor contrapeso

Las ecuaciones del motor son lassiguientes: • v(t) = R⋅i(t) + L⋅di(t)/dt + fcem(t) • fcem(t) = Kv⋅ω(t) • p(t) = KP⋅i(t) El resto de ecuaciones necesarias se indican a continuación: • p(t) = J⋅dω(t)/dt + B⋅ω(t) • ω(t) = dθ(t)/dt • h(t) = r⋅ θ(t) Para las distintas constantes se tomarán los siguientes valores: R = 0,2Ω L = 0H KP = 1,5N⋅m/A KV = 0,2V⋅s J = 0,25kg⋅m2 B = 1N⋅s r = 0,25m

+ v(t) _

i(t)

L
+ fcem(t) _

ω(t) p(t)(resistencia del devanado del motor) (inductancia del devanado del motor) L SE CONSIDERA DESPRECIABLE (constante de par del motor) (constante de fuerza contraelectromotriz del motor) (momento de inercia del conjunto) (rozamiento viscoso del conjunto) (radio de la polea)

Primera parte 1. Dibujar el diagrama de bloques del sistema. 2. Reducir el diagrama de bloques para obtener la función detransferencia que relaciona la altura del ascensor con la tensión aplicada al motor: F(s) = H(s)/V(s) 3. Discutir la estabilidad de la función de transferencia obtenida. ¿Es lógico el resultado? Segunda parte Sobre el sistema anterior F(s) se añade una realimentación y un bloque multiplicador de valor K:
+ HDESEADA(s) _ K V(s) F(s) H(s)

4. Obtener la f. de transferencia G(s) que relaciona H(s)y HDESEADA(s): G(s) = H(s)/ HDESEADA(s) 5. Discutir la estabilidad del sistema en función del valor de K según el criterio de Routh. 6. Supuesto un valor de K=30: 6.1. Dibujar aproximadamente la respuesta del sistema a un escalón unitario. 6.2. Obtener el valor de la ganancia en régimen permanente ante escalón unitario. ¿Qué sentido físico tiene? 6.3. Obtener el valor de la sobreoscilación y deltiempo de pico de sobreoscilación. 6.4. Obtener el valor del tiempo de establecimiento (es válido utilizar la fórmula aproximada). 6.5. ¿Qué efecto tendría aumentar el valor de K sobre la sobreoscilación?

SOLUCIÓN

1.
V(s)

+ 5 _ FCEM(s)

I(s) 1.5

P(s)

1 0.25s+1

ω(s)

1 s

θ(s)

H(s) 0.25

0.2

2.
7.5 V(s) s⋅(s+10) H(s)

3. Sistema inestable por tener un polo en...