Sistemas De Coordenadas Y Lugares Geométricos
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2
Plano cartesiano
Las recta X y Y generan un plano, al cual llamaremos plano cartesiano.
Nota: En forma descriptiva, es el conjunto de todos los puntos del plano y en símbolos se escribe como:
2
x, y
Coordenadas polares
En este nuevosistema de coordenadas polares, la localización de los puntos al igual que en un sistema de
coordenadas cartesiano, requiere de dos cantidades, la primera es la longitud (radio vector r) que se mide desde el
origen de una línea recta numérica real (observar que siempre es positiva) y la segunda es un ángulo que se mide
en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (en concordanciacon la trigonometría) desde la línea
recta numérica hasta el radio vector. Un punto en este sistema de coordenadas será de la forma
Y el plano polar se define como
Pr, .
Plano polar( r, )
r , y 00 3600
Para localizar un punto como el que se muestra en la figura utilizando un sistema de coordenadas polares
se puede realizar de lasiguiente manera; establecer en cualquier lugar del plano un eje y ubicar un punto 0 el cual
será el origen.
Relación entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares
Existe una relación entre las coordenadas
cartesianas y el sistema de coordenadas
polares, esta se realiza a través de las
siguientes expresiones que se obtienen de
la siguiente figuraPara transformar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas se utilizan las relaciones trigonométricas de
seno y coseno en el triángulo
XOA
2
3
cos
x
r
de donde
x r cos
Y
sen
y
r
de donde
y r sen
EJERCICIOS
Ejercicio
Dado el punto en coordenadas polares
Pr,5,120
transformarlo a coordenadas cartesianas
Px, y .
Con
el
punto
dado,
identificamos
r _____
y
____,
ahora,
utilizamos
las
expresiones
x r cos
y r sen . El punto en coordenadas cartesianas
es
Px, y _______________
Transformar de coordenadas cartesianas a coordenadaspolares
En la figura
Para obtener las expresiones de r y en términos de las coordenadas cartesianas, se procede de la siguiente manera.
Por el teorema de Pitágoras
r
2
2
y utilizando la relación trigonométrica de tangente en el triángulo
XOA , se tiene tan
y
x
y
, se obtiene ang tan .
xEjercicio Dado el punto en coordenadas cartesianas
P x, y P 7,2 , transformarlo a coordenadas polares.
El valor del radio vector es
r ____________
Y el valor del parámetro
______________
Ejercicio 2 Transformar las coordenadas de los siguientes puntos en coordenadas cartesianas a coordenadas polares.
a)
P(3,5)
en coordenadaspolares es ________________
b)
Q(3,5)
en coordenadas polares es ________________
c)
R(3,5)
en coordenadas polares es ________________
3
4
Transformar ecuaciones coordenadas polares a coordenadas
cartesianas.
Ejercicio Transformar la ecuación cartesiana
2x 3 y 5 0
en coordenadas polaresSustituyendo las expresiones
x r cos
y r sen
en la ecuación cartesiana
2x 3 y 5 0 ,
se tiene la correspondiente ecuación polar
___________________________________.
Ejemplo . Transformar la ecuación cartesiana
x 7 y
10 6
en coordenadas polares
Sustituyendo las expresiones
x r cos
y r...
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