Sistemas De Coordenadas Y Lugares Geométricos

Unidad 2






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2
Plano cartesiano

Las recta X y Y generan un plano, al cual llamaremos plano cartesiano.

Nota: En forma descriptiva, es el conjunto de todos los puntos del plano y en símbolos se escribe como:


2


x, y

Coordenadas polares

En este nuevosistema de coordenadas polares, la localización de los puntos al igual que en un sistema de
coordenadas cartesiano, requiere de dos cantidades, la primera es la longitud (radio vector r) que se mide desde el
origen de una línea recta numérica real (observar que siempre es positiva) y la segunda es un ángulo que se mide
en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (en concordanciacon la trigonometría) desde la línea

recta numérica hasta el radio vector. Un punto en este sistema de coordenadas será de la forma


Y el plano polar se define como

Pr, .


Plano polar( r, )


r , y 00 3600





Para localizar un punto como el que se muestra en la figura utilizando un sistema de coordenadas polares



se puede realizar de lasiguiente manera; establecer en cualquier lugar del plano un eje y ubicar un punto 0 el cual
será el origen.















Relación entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares

Existe una relación entre las coordenadas
cartesianas y el sistema de coordenadas
polares, esta se realiza a través de las
siguientes expresiones que se obtienen de
la siguiente figuraPara transformar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas se utilizan las relaciones trigonométricas de

seno y coseno en el triángulo

XOA





2



3


cos

x
r


de donde

x r cos


Y

sen

y
r


de donde

y r sen


EJERCICIOS

Ejercicio

Dado el punto en coordenadas polares

Pr,5,120

transformarlo a coordenadas cartesianas

Px, y .


Con


el


punto


dado,


identificamos


r _____


y


 ____,


ahora,


utilizamos


las


expresiones

x r cos

y r sen . El punto en coordenadas cartesianas


es


Px, y _______________


Transformar de coordenadas cartesianas a coordenadaspolares

En la figura














Para obtener las expresiones de r y en términos de las coordenadas cartesianas, se procede de la siguiente manera.



Por el teorema de Pitágoras


r


2


2



y utilizando la relación trigonométrica de tangente en el triángulo


XOA , se tiene tan

y
x

 y
, se obtiene ang tan .
 xEjercicio Dado el punto en coordenadas cartesianas


P x, y P 7,2 , transformarlo a coordenadas polares.


El valor del radio vector es


r ____________


Y el valor del parámetro


 ______________



Ejercicio 2 Transformar las coordenadas de los siguientes puntos en coordenadas cartesianas a coordenadas polares.


a)


P(3,5)


en coordenadaspolares es ________________


b)


Q(3,5)


en coordenadas polares es ________________


c)


R(3,5)


en coordenadas polares es ________________






3



4

Transformar ecuaciones coordenadas polares a coordenadas
cartesianas.



Ejercicio Transformar la ecuación cartesiana



2x 3 y 5 0



en coordenadas polaresSustituyendo las expresiones


x r cos


y r sen


en la ecuación cartesiana


2x 3 y 5 0 ,

se tiene la correspondiente ecuación polar

___________________________________.



Ejemplo . Transformar la ecuación cartesiana


x 7 y

10 6



en coordenadas polares



Sustituyendo las expresiones


x r cos


y r...