Sistemas de ecuaciones lineales

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Introducción
El contenido de esta breve investigación da a conocer los conceptos fundamentales que el curso de algebra lineal enseña, para ello daremos una definición de los sistemas de ecuaciones lineales, matrices, determinantes y los diversos procedimientos que se llevan a cabo para dar una solución y a su vez algunos de los ejemplos para una mejor comprensión.
El estudio de los sistemas deecuaciones lineales es un tanto complejo y a la vez fácil de resolver, pues al ir de la mano con las matrices y las determinantes nos ofrecen una resolución de distintos problemas que surgen, especialmente en el campo matemático en el cual no sólo nos sirve para conocerlas sino para ser aplicadas principalmente en el campo de la economía. También analizaremos las matrices y determinantes y veremosque son una herramienta indispensable en el estudio y obtención de los sistemas de ecuaciones lineales.
Apoyados de distintos procedimientos, tales como el método de reducción, igualación, sustitución, método de Gauss, regla de Cramer, etc., aplicados en las matrices podremos dar una solución más fácil a las ecuaciones lineales y en especial los sistemas que las conforman.

A) Sistemas deecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
a11 ・ x1 + a12 ・ x2 + a13 ・ x3 + ・ ・ ・ + a1n ・ xn = b1
a21 ・ x1 + a22 ・ x2 + a23 ・ x3 + ・ ・ ・ + a2n ・ xn = b2
...
am1 ・ x1 + am2 ・ x2 + am3 ・ x3 + ・ ・ ・+ amn ・ xn = bm

aij se denominan coeficientes
xi se denominan incógnitas
bj se denominan términos independientes

En el caso deque las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

a11 a12 a13 . . . a1n x1 b1
a21 a22 a23 . . . a2n x2b2
. . . . . = .
. . . . .
. . . . .
am1 am2 am3 . . . am xn bm

A B C

A: matriz de coeficientes
B: matriz de incógnitas
C: matriz de términos independientes

La matriz formada por A y B conjuntamente, esdecir:

a11 a12 a13 . . . a1n b1

(A|B)= a21 a22 a23 . . . a2n b2

am1 am2 am3 . . . amn bm

Se llama matriz ampliada del sistema y se representará por (A|B) o bien por A.

Ejemplo: El sistema:
x + y − z = 5
x + y = 7
2x+2y − z = 12

1 1 −1 x 5
1 1 0 . y 7
2 2 −1 z 12

1 1 −1 5
(A|B) = 1 1 0 7
2 2 −1 12

Tipos de sistemas
Engeneral, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos de pueden clasificar en:

* INCOMPATIBLES (No tienen solución)→ S.I.
* COMPATIBLES (Tienen solución)
* DETERMINADOS (Solución única)→ S.C.D.* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.

Sistemas con dos incógnitas
Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados.

Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:

* Reducción
* Igualación
* Sustitución

Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente...
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