Sistemas De Ecuaciones Lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde  son las incógnitas y los números  son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A esuna matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

Tipos de sistemas
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar lossiguientes casos:

Sistema incompatible si no tiene solución.
Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por(hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemascompatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es  y que pasa por el punto , por loque ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuacionesse puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de su auto valores será 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado esun sub espacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.

Sistemas incompatibles

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:


Las ecuaciones secorresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de lamatriz del sistema sea cero:

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales
Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su...