Sistemas De Ecuaciones No Lineales

Sistemas De Ecuaciones No Lineales

Un método iterativo trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa dela matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.
Convergencia
Dado que estos métodos forman una base, el método converge en N iteraciones, donde N es el tamaño del sistema. Sinembargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmación no se sostiene; además, en la práctica N puede ser muy grande, y el proceso iterativo alcanza una precisión suficiente mucho antes. El análisis de estos métodos es difícil, dependiendo de lo complicada que sea la función del espectro del operador.

El Método Del Punto Fijo
Es un método iterativo que permite resolver sistemas deecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma , siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación  en la forma .

Llamemos  a la raíz de . Supongamos que existe y es conocida la función  talque:
  del dominio.
Entonces:

Tenemos, pues, a  como punto fijo de .

1. Se ubica la ráiz de  analizando la gráfica.
2. Se obtiene un despeje  de la función.
3. Obtenemos de  su derivada .
4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤  ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.
5. Con R buscamos la raíz en , es decir  haciendo iteración de las operacionesSea  una función, encuentre la raíz.
Ubicamos la ráiz analizando la gráfica.

Obtenemos :

Después obtenemos la derivada de la función:

Entonces resolvemos las desigualdades:

La solución es:

La solución es:

O visto de otra manera, vemos que en la grafica de la derivada existen valores entre -1 y 1:

Ya que se tienen los valores del rango R, encontramos la raíz haciendo la iteración delas operaciones:

En la tabla se puede ver el valor que en este caso se uso de R, la iteración consiste en usar ese valor en  para obtener los siguientes valores haciendo la misma operación usando el valor anterior.
Después de un número considerable de iteraciones obtenemos la raíz en .

Ejemplo 2
Encontrar una buena aproximación a la raíz de la siguiente función porel método del Punto Fijo:

Como puede verse, se trata de la misma función que la del ejemplo 1, pero esta vez la función ha sido despejada de una forma diferente, por lo cual se encontrará otra raíz (dado que la función tiene dos raíces, como se puede apreciar en la gráfica. Utilizando el mismo procedimiento del ejemplo 1, los resultados en Excel quedarán de esta manera:

 
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

El Método DeNewton-Raphson
Es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raízdepende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en...