SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Dinámica de Estructuras

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PLANTEAMIENTO:
Estructura de 3 niveles en pórticos resistentes a momento, se construirá en la ciudad de Medellín en un
perfil de suelo tipo D y para uso residencial.
Hacer el chequeo de derivas de la estructura por el método de análisis de respuesta modal espectral.

SOLUCIÓN:
El espectro elástico de diseño se puede definir como la respuesta espectral suavizada oenvolvente, que
se obtiene a partir de un estudio estadístico de los espectros de respuesta lineales para sismos de
magnitudes similares, obtenidos en suelos de características similares y con distancias epicentrales
también similares. (Awad R. Rochel. 2006).
La NSR-10 propone para Colombia el espectro de diseño elástico mostrado en la Figura 11, el cual es
calculado al nivel de la fundación.
Losparámetros que definen la forma del espectro de diseño son los siguientes:

Ejemplo Guía del Proyecto Aula

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









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Aa: Coeficiente que representa la aceleracion pico efectiva, para diseño, al nivel de roca para
periodos cortos.
Av: Coeficiente que representa la aceleracion pico efectiva, para diseño, al nivel de roca paa
periodos largos.
I: Coeficienteque mide la importancia de edificacion para la comunidad. Mientras más
importante es la edificacion mayor es la resistencia que debe tener.
Fa,Fv: Coeficiente de sitio. Cuando la excitación sismica pasa através de suelos blandos sufre un
fenomeno de amplifcacion, por lo tanto su valor depende del tipo de suelo en el cual se
construya la edificacion.
T: Periodo fundamental de vibracion del sistemaelástico, en segundos.
Tc: Periodo correspondiente a la transicion entre la zona de aceleraciones constantes del
espectro de diseño, para periodos y la parte descendente de la misma.
TL: Periodo de diseño en segundos correspondiente al inicio de la zona de aceleraciones
constantes del espectro para periodos largos.
Sa: Valor del Espectro de aceleraciones de diseño para un periodo de vibraciondado. Es la
máxima aceleracion horizontal de diseño, expresada como porcentaje de la gravedad, para un
sistema de un grado de libertad con un periodo de vibracion T.

Figura 1. Espectro elástico de diseño para Colombia. Tomado de NSR-98.

Ejemplo Guía del Proyecto Aula

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Figura 2. Comparación del espectro de seudoaceleración con el espectro de diseño de laNSR-10.

Modos de vibración
Para determinar los modos de vibración puede resolverse el problema de los valores propios:
| −

|=0

De donde se obtiene n valores de 2, los cuales son las frecuencias naturales de vibración de la
estructura. Sin embargo, puede emplearse el denominado método de Stodola, el cual encuentra los
valores de los modos de vibración mediante aproximaciones sucesivas, las cuales almultiplicar un vector
cualquiera por la matriz de flexibilidad dinámica
=
; converge en el valor del primer modo de
vibración.
Dado que los modos de vibración son perpendiculares, cualquier vector escogido será una combinación
lineal de estos vectores directores, entonces se puede escribir
=

∙

+

∙

+⋯+

∙

Luego se encuentra un nuevo vector X2
=
Ejemplo Guía del Proyecto Aula

∙
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Puede demostrar que
=

∙

+

∙

+⋯+

∙

Debido a que
es la frecuencia fundamental, es el valor más pequeño, y por lo tanto el primer
término es el más grande, y a medida que se hace las iteraciones, su influencia se va haciendo más
grande hasta que la solución converge al primer modo de vibración.
El valor de
puede obtenerse al calcular 1/(xi)max; donde xi es el valormáximo del vector X obtenido
mediante el procedimiento anterior.
Para obtener los modo superiores debe escogerse un vector X que el cual la influencia del primer modo
sea nula. Este vector puede hallarse calculando
=

−

∙

∙

∙

∙

∙

Donde
=

Reemplazando en la ecuación anterior se puede hallar la matriz de barrido, que se obtiene de
= −

∙
∙

∙

Al premultiplicar el vector Xi por la matriz de...