Sistemas Lineales - Teoría De La Aproximación

TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN
Introducción: Conceptos básicos
Espacio vectorial: Definición, generadores, dependencia
e independencia lineal, bases. Variedades lineales
Espacios normados. Tipos denorma.
Espacios métricos
Espacio vectorial euclídeo
Ortogonalidad: definiciones y propiedades.
Bases ortogonales y ortonormales.
Ortogonalización de Gram-Schmidt.
Coeficientes de Fourier.

LAMEJOR APROXIMACIÓN
Sea V e.v. normado con la norma euclídea y
S un subespacio de V.
Si x, y ∈ V, d (x , y) = ll x-y II
Sea x ∉ S , d (x , S) = inf II x-y II, y ∈ S
Si x ∈ S, d( x, S) = 0
V
S
xLA MEJOR APROXIMACIÓN
Mejor aproximación de f ∉ S desde V a S, al
elemento g ∈ S :
inf II f – y II =d (f , S) = IIf - gII , y ∈ S
Teorema de existencia
Si S es subespacio de un espacionormado V,
entonces cada elemento de V posee, al menos una
mejor aproximación en S.
Unicidad: Las mejores aproximaciones , en general
no son únicas

LA MEJOR APROXIMACIÓN
Observación: El proceso deobtener mejores aproximaciones puede
ser bastante complicado, generalmente implica resolver un sistema
de ecuaciones no lineales.
Existe
Existe caso en el que solo es necesario resolver algunasecuaciones lineales cuando V es e.v.e.

1.
2.

Teorema
Si V e.v.e y S ⊂ V subespacio. Son equivalentes:
g es una mejor aproximación de f en S
(f – g) ⊥ S
Unicidad: La mejor aproximación cuandoV es un e.v.e es única.

LA MEJOR APROXIMACIÓN
Cálculo de la mejor aproximación en un e.v. normado
V e.v.e, S ⊂ V subespacio vectorial. Sea B = s1 , …, sr base de S y
f ∈ V, entonces la mejoraproximación f* de f :
f* = Σ αi si i=1,…,r
Por teorema de equivalencia sabemos que (f – f* ) ⊥ S
G.α = β
Casos particulares:
1.
Base ortogonal
2.
Base ortonornal

TEORÍA DE LOS MÍNIMOSCUADRADOS

CASO DISCRETO : Determinar la mejor aproximación cuando el
error venga dado por la suma de los cuadrados de las diferencias
entre
entre los valores de la función aproximant(e y los...