sistemas sin amortiguacion

SISTEMAS SIN AMORTIGUACIÓN
El estudio de dinámica de las estructuras con el análisis de un sistema simple y fundamental, el sistema con un grado de libertad en el cual “ignoramos” o despreciamos las fuerzas de amortiguación. Además, vamos a considerar a este sistema como si estuviera libre de la acción de fuerzas exteriores durante su movimiento vibratorio. En estas condiciones, el sistema enmovimiento estaría gobernando sólo por la influencia de las llamadas condiciones iniciales, o sea el desplazamiento y la velocidad especificados, en el instante k = 0, cuando se inicia el estudio del sistema. Este sistema con un grado de libertad se conoce como oscilador simple sin amortiguación. Habitualmente se representa como se muestra en la siguiente figura:

Estas dos ilustracionesrepresentan modelos matemáticos que son dinámicamente equivalentes. Es cuestión de preferencia personal adoptar uno u otro. En estos modelos la masa m está restringida por el resorte k a moverse linealmente a lo largo de un eje de coordenadas.
La características mecánicas de un resorte esta dada por la relación entre la magnitud de la fuerza Fr aplicada a un extremo libre y el desplazamiento y queresulta en ese extremo.
La constante de proporcionalidad entre la fuerza y el desplazamiento de un resorte lineal, se llama constante del resorte, y habitualmente se designa con la letra k. en consecuencia, podemos estableces la siguiente relación entre la fuerza y el desplazamiento de un resorte lineal:
Fr = k*y
En este resorte la fuerza adicional necesaria para producir una nueva deformacióndisminuye a medida que la deformación del resorte aumenta. Indudablemente, el lector sabe, por experiencia adquirida previamente en modelos matemáticos de sistemas físicos, que el resorte lineal es el más fácil de analizar. Por lo tanto, no es sorprenderte que la mayor parte de la literatura técnica sobre dinámica de las estructuras emplee modelos con resortes lineales. Dicho de otro modo, ya seaporque las características elásticas del sistema estructural son esencialmente lineales o simplemente debido a la conveniencia de simplificar el análisis, generalmente se supone que las propiedades de fuerza y deformaciones de los sistemas son lineales. A favor de esta practica se debe hacer notar que, en muchos casos, los desplazamientos que se producen en la estructura por la acción deexcitaciones de fuerzas exteriores son pequeños, acercando la aproximación lineal al comportamiento real de la estructura.
LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
En la oscilación simple mostrada en la figura anterior. El objetivo es describir su movimiento, es decir, predecir el desplazamiento o la velocidad de la masa m en cualquier instante de tiempo t a partir de las condiciones iniciales dadas en el instantet = 0. La relación analítica entre el desplazamiento y y el tiempo t está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, que en notación moderna puede ser expresada como:
F = m*a
Donde F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m y a es la aceleración resultarte. Se debe de reconocer que la ecuación anterior (1.0) es una relación vectorial y como tal, puede serescrita en forma equivalente en función de sus componentes en las coordenadas x, y y z, o sea:



La aceleración se define como la derivada segunda con respecto al tiempo del vector posición; por lo tanto, las ecuaciones anteriores inmediatas son ecuaciones deferenciales. Se debe recordar también que las ecuaciones establecidas por Newton son directamente solo a cuerpos idealizados comopartículas, o sea, a cuerpos que tienen masa pero no volumen. Sin embargo, como se demuestra en mecánica elemental, la ley del movimiento de Newton es aplicable directamente a cuerpos de dimensiones finitas que tienen movimiento de traslación.




En estas ecuaciones, (aG)x y (aG)y son las componentes de la aceleración, a lo largo de los ejes x e y, del centro de masas G del cuerpo con respecto...