Sistemas y señales

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MASSACHUSETTS Departamento de Ingeniería Eléctrica e Informática 6.003: Señales y sistemas—Otoño 2003 Examen final Martes 16 de diciembre de 2003

Instrucciones: El examen consta de 7 problemas (paginas 2-33) y de un espacio en blanco para trabajar (páginas 34-37). Asegúrese de que no le falta ninguna pagina. Al final de este cuadernillo, se facilitan las tablas de laspropiedades de las series de Fourier y las propiedades y las tablas de las transformadas de Fourier de DT y CT, así como las propiedades de la transformada z y de Laplace. Escriba sus respuestas directamente en los espacios indicados en las páginas de este cuadernillo. No olvide escribir su nombre en todas y cada una de las páginas. Puede utilizar cuadernos de examen para el trabajo en borrador,pero no serán calificados. Todos los diagramas y dibujos deberán incluir las correspondientes leyendas. Salvo que se indique lo contrario, debe razonar las respuestas. Este es un examen a libro cerrado, aunque los estudiantes pueden utilizar tres hojas 8 1/2 × 11 para consultas. No se autoriza el uso de calculadoras.

NOMBRE: Indique su sección Sección � 1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6 � 7 � 8 Hora 10-1111-12 1- 2 11-12 12- 1 12- 1 10-11 11-12 Profesor de las clases de repaso Prof. Zue Prof. Zue Prof. Gray Dr. Rohrs Prof. Voldman Prof. Gray Dr. Rohrs Prof. Voldman

Le rogamos no escriba nada en esta hoja a partir de la línea, ya que el espacio está reservado para uso de los examinadores: Problema Nº de puntos Puntuación Examinad. 1 30 2 15 3 35 4 30 5 30 6 25 7 35 Total 200

PROBLEMA 1 (30puntos) Sea h(t) una respuesta a impulso del lado derecho de un sistema y cuya transformada de Laplace viene dada por: 10(−s + 1) H(s) = . (s + 10)(s + 1) Apartado a. Halle la ecuación diferencial que describe al sistema.

Apartado b. ¿Es causal el sistema?
SÍ o NO
Razone brevemente su respuesta:

2

Otoño 2003: examen final

NOMBRE:

Página de trabajo para el problema 1

3

Elproblema 1 continúa en la página siguiente.

Apartado c. La respuesta de este sistema a un escalón positivo comienza en una dirección negativa antes de girar. Demuestre esta afirmación hallando lim t�0+ ds(t) . Justifique el método utilizado. dt

t�0

lim +

ds(t) = dt

Apartado d. Sea HI (s) la función de transferencia de un sistema inverso de H(s) estable pero no causal, es decir, HI(s)H(s) = 1. Halle HI (s) y su región de convergencia (ROC).

HI (s) =

ROC:

4

Otoño 2003: examen final

NOMBRE:

Página de trabajo del problema 1

5

PROBLEMA 2 (15 puntos) Considere el siguiente sistema LTI de DT:

x[n]

H(ej� )

y[n]

La secuencia de entrada es: x[n] = cos tal como se indica en el siguiente gráfico: x[n] � 5� � n− 2 4 �

�

2 2

−2 −1
0
1

23
4
5

6 n

−
22 Determine y realice el diagrama de y[n] si la magnitud y la fase de H(ej� ) son:

�

|H(ej� )|
1

�H(ej� )
� 2

−�

�

�

−�
−� 2

�

�

6

otoño 2003: examen final

NOMBRE:

y[n] =

y[n]

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

n

7

Página de trabajo del problema 2

8

Otoño 2003: examen finalPROBLEMA 3 (35 puntos) Considere el siguiente sistema: cos �b t

NOMBRE:

cos �c t
xc (t)
yc (t)

×

H(j� )
H(j� ) 1

×

x(t)
−�b
×
H(j� )
xs (t)
sin �b t sin �c t

+

y(t)

�b

�
×
ys (t)

La transformada de Fourier de x(t), X(j�) tiene las siguientes partes reales e imaginarias:
�e{X(j� )} 1
�m{X(j� )} 1

�b

−�b

�b

�

−�b

�

−1

Para sucomodidad, le facilitamos las anteriores figuras idénticas, así como las tablas de la transformada.

9

Apartado a. Realice diagramas etiquetados de las partes reales e imaginarias de X s (j�).

�e{Xs (j�)}

�

�m{Xs (j�)}

�

10

Otoño 2003: examen final

NOMBRE:

Página de trabajo del problema 3

11

El problema 3 continúa en la página siguiente.

Apartado b. Realice...